Grupa Heisenberga

Grupa Heisenberga – grupa macierzy trójkątnych górnych $3\times 3$ postaci $\left[\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ z działaniem mnożenia macierzy, elementy $x,y,z$ należą do dowolnego pierścienia przemiennego z jednością. Zazwyczaj przyjmowany jest pierścień liczb rzeczywistych lub liczb całkowitych. Nazwa pochodzi od imienia fizyka teoretycznego Wernera Heisenberga.

Wynik mnożenia dwóch macierzy ma postać: $\left[\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$\cdot$ $\left[\begin{array}{ccc}1& x^{\prime }& y^{\prime }\\ 0& 1& z^{\prime }\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1& x+x^{\prime }& y+y^{\prime }+x{z}^{\prime }\\ 0& 1& z+z^{\prime }\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

Elementem neutralnym grupy Heisenberga jest macierz jednostkowa, a elementem odwrotnym jest ${\left[\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& -x& xz-y\\ 0& 1& -z\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

Grupa ta jest izomorficzna ze zbiorem trójek $(x,y,z),$ w którym definiuje się działanie $\odot :$

$(x,y,z)\odot (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=(x+x^{\prime },y+y^{\prime }+x{z}^{\prime },z+z^{\prime }),$

elementem neutralnym jest:

$(0,0,0)$

oraz

$(x,y,z{)}^{-1}=(-x,-y+xz,-z).$

Dyskretna grupa Heisenberga

Jeśli elementy macierzy $x,y,z$ są liczbami całkowitymi, to grupę Heisenberga określa się jako dyskretną grupę Heisenberga i oznacza się $H_3(Z).$

Jest to nieabelowa grupa nilpotentna, która ma dwa generatory, $a=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

Zachodzące w niej następujące zależności

$c=ab{a}^{-1}{b}^{-1},ac=ca,bc=cb,$

gdzie $c=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ jest generatorem Centrum grupy $H_3.$

Bibliografia

• http://www.math.columbia.edu/~woit/notes20.pdf