Forma dwuliniowa

Szablon:Spis treści Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym). Uogólnieniem form dwuliniowych są formy wieloliniowe.

Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.

Definicja formy dwuliniowej

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$

Przekształcenie $B:V\times V\to K$ nazywa się formą dwuliniową (funkcjonałem dwuliniowym) na $V,$ jeżeli jest:

• liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu

  $B(𝐱+𝐲,𝐳)=B(𝐱,𝐳)+B(𝐲,𝐳)$

  oraz

  $B(c𝐱,𝐲)=cB(𝐱,𝐲)$

• liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i jednorodne względem drugiej współrzędnej

  $B(𝐱,𝐲+𝐳)=B(𝐱,𝐲)+B(𝐱,𝐳)$

  oraz

  $B(𝐱,c𝐲)=cB(𝐱,𝐲)$

Rodzaje form dwuliniowych

Na formy dwuliniowe nakłada się dodatkowe warunki.

Forma refleksyjna

$B(𝐱,𝐲)=0\iff B(𝐲,𝐱)=0$

Forma alternacyjna

$B(𝐱,𝐱)=0$

Forma symetryczna

$B(𝐱,𝐲)=B(𝐲,𝐱)$

Forma antysymetryczna

Forma zwana też formą symplektyczną

$B(𝐱,𝐲)=-B(𝐲,𝐱)$

Uwagi

(1) Dwuliniowa forma antysymetryczna – to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej lub alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystyki.

(2) W przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności i antysymetryczności pokrywają się, jednak i w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal używana.

(3) Pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałych.

Twierdzenia

Tw. 1: Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna albo alternująca.

Tw. 2: W ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna.

Własności

W ciele charakterystyki różnej od 2 każdą formę dwuliniową $B$ można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy $B_{\mathrm{s}}+B_{\mathrm{a}}$ formy symetrycznej $B_{\mathrm{s}}$ i formy alternującej (antysymetrycznej) $B_{\mathrm{a}}$; w przypadku ciała charakterystyki 2 alternujące formy dwuliniowe są podzbiorem symetrycznych form dwuliniowych W ciele charakterystyki różnej od 2 symetryczna forma dwuliniowa $B(𝐱,𝐲)$ wyznaczona jest całkowicie przez wartości $B(𝐱,𝐱)$ „na przekątnej” – własność tę nazywa się polaryzacją (w szczególności $B\equiv 0\iff B(𝐱,𝐱)=0)$). Oznacza to, że badanie tego rodzaju form dwuliniowych sprowadza się do badania form kwadratowych.

Z formą dwuliniową $B$ można związać dwa przekształcenia liniowe $B_{\mathrm{L}},B_{\mathrm{R}}$ z przestrzeni $V$ w przestrzeń dualną $V^{*}$ dane wzorami

$B_{\mathrm{L}}(𝐱)(𝐲)=B(𝐱,𝐲)\text{ oraz }{B}_{\mathrm{R}}(𝐲)(𝐱)=B(𝐱,𝐲),$

oznaczane często odpowiednio $B(𝐱,\cdot )$ oraz $B(\cdot ,𝐲),$ gdzie kropka oznacza miejsce przyłożenia argumentu dla powstałej formy liniowej (por. currying w rachunku lambda).

Przekształcenie $B_{\mathrm{R}}$ jest transpozycją (sprzężeniem) $B_{\mathrm{L}}$ na obrazie $V$ w drugiej przestrzeni dualnej $V^{**}$ (i na odwrót). Jeżeli $V$ jest skończeniewymiarowa, to istnieje naturalny izomorfizm między $V,$ a jej drugą dualną $V^{**},$ dzięki czemu $B_{\mathrm{R}}$ można uważać za transpozycję $B_{\mathrm{L}}$ na $V.$ W ten sposób dla danej formy dwuliniowej $B$ można zdefiniować jej transpozycję (sprzężenie) $B^{*}$ wzorem

$B^{*}(𝐱,𝐲)=B(𝐲,𝐱).$

Rząd $B_{\mathrm{L}}$ jest równy rzędowi $B_{\mathrm{R}};$ nazywa się go rzędem formy dwuliniowej $B.$ Jeśli rząd tych przekształceń jest pełny (tzn. równy wymiarowi przestrzeni), to $B_{\mathrm{L}}$ i $B_{\mathrm{R}}$ są izomorfizmami liniowymi $V\to V^{*}.$ Wówczas formę dwuliniową $B$ nazywa się niezdegenerowaną lub nieosobliwą (w przeciwnym przypadku nazywa się ją zdegenerowaną lub osobliwą); podobnie nazywa się wtedy samą przestrzeń dwuliniową $(V,B).$ Gdy $V$ jest skończeniewymiarowa, na mocy twierdzenia o rzędzie jest to równoważne trywialności jądra $B_{\mathrm{L}}.$ Wówczas $B$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $𝐲$ zachodzi

$B(𝐱,𝐲)=0\Rightarrow 𝐱=\mathrm{𝟎},$

bądź (na mocy kontrapozycji) gdy dla każdego niezerowego wektora $𝐱$ istnieje taki wektor $𝐲,$ dla którego $B(𝐱,𝐲)\ne 0.$ Własność tę przyjmuje się często jako definicję niezdegenerowania w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru.

Dla dowolnego przekształcenia $\mathrm{A}:V\to V^{*}$ wzór

$B(𝐱,𝐲)=\mathrm{A}(𝐱)(𝐲).$

definiuje formę dwuliniową $B$ na przestrzeni $V.$ Jest ona niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathrm{A}$ jest izomorfizmem.

Formy dwuliniowe $B_1$ oraz $B_2$ określone odpowiednio na $V_1$ i $V_2$ nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm $\mathrm{C}:V_1\to V_2,$ który spełniałby

$B_2(\mathrm{C}(𝐱),\mathrm{C}(𝐲))=B_1(𝐱,𝐲).$

Zapisanie obu form dwuliniowych we współrzędnych oznacza przejście do przestrzeni współrzędnych; powyższa definicja mówi wtedy, że za równoważne uważa się te formy dwuliniowe, dla których istnieje liniowa zamiana zmiennych między ich przedstawieniami (w przypadku form symetrycznych wystarczy zadbać o przejście wartości „na przekątnych”; zob. kolejną sekcję).

Przestrzeń liniową $V$ z formą dwuliniową $B$ tworzy przestrzeń dwuliniową $(V,B);$ przestrzeń liniowa z symetryczną formą dwuliniową (tzw. „uogólnionym iloczynem skalarnym”) nazywa się przestrzenią ortogonalną, jeśli jest ona dodatkowo niezdegenerowana, to nazywa się ją przestrzenią unitarną; zaś przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą to przestrzeń symplektyczna. Z kolei dwie przestrzenie liniowe związane (zwykle niezdegenerowaną) formą dwuliniową tworzą parę dwoistą.

Macierz formy

W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru $n$ powyższe własności można przetłumaczyć na język macierzy. Ustalenie bazy $E=\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$ w $V$ oznacza wybranie izomorfizmu $V\to K^n$ odwzorowującego wektor $𝐱$ w wektor współrzędnych ${𝐱}_E,$ którego współrzędne można zapisać w macierzy jednokolumnowej (tzw. wektorze kolumnowym) $𝐗.$ Dzięki temu w zupełnie analogiczny sposób jak ma to miejsce dla przekształceń liniowych i ich macierzy działanie formy dwuliniowej $B(𝐱,𝐲)$ można zapisać w standardowej notacji macierzowej jako $𝐗\cdot 𝐁𝐘={𝐗}^{\mathrm{T}}𝐁𝐘,$ gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych $K^n.$ Macierz kwadratową

$𝐁=[B({𝐞}_i,{𝐞}_j){]}_{ij}$

stopnia $n$ nazywa się wtedy macierzą formy dwuliniowej (macierzą funkcjonału dwuliniowego) $B$ w bazie $E$ (w przypadku przestrzeni unitarnej jest to odpowiednik macierzy Grama iloczynu skalarnego wyrażonego w tej bazie). Jest ona macierzą przekształcenia $B_{\mathrm{R}}$ przy czym wybór ten jest arbitralny: macierz $𝐁$ jest macierzą $B_{\mathrm{L}}$ przy wyborze działania $B(𝐱,𝐲)=𝐁𝐗\cdot 𝐘=(𝐁𝐗{)}^{\mathrm{T}}𝐘.$ Przekształceń $B_{\mathrm{L}},B_{\mathrm{R}}:V\to V^{*},$ w przeciwieństwie do ich macierzy, nie można składać – podejście tłumaczące wynik złożenia macierzy na przekształcenia, a przy tym niewyróżniające żadnego z nich opisano dalej.

W przestrzeni z ustaloną bazą równoważność przedstawień (macierzy) form dwuliniowych wyraża się następująco: jeśli $E,F$ są dwiema bazami $V,$ to macierze ${𝐁}_E$ i ${𝐁}_F$ przekształcenia dwuliniowego $B$ są przystające, tzn.

${𝐁}_F={𝐂}^{\mathrm{T}}{𝐁}_E𝐂,$

gdzie $𝐂$ oznacza macierz zamiany współrzędnych $\mathrm{M}(\mathrm{i}\mathrm{d}{)}_E^F$ od $E$ do $F.$ Ogólniej: macierze $𝐀$ i $𝐁$ są przystające, tzn.

$𝐁={𝐂}^{\mathrm{T}}𝐀𝐂,$

dla pewnej macierzy odwracalnej $𝐂,$ gdy są macierzami tej samej formy dwuliniowej.

Wprost z definicji wynika, że forma dwuliniowa jest symetryczna bądź antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest macierz symetryczna bądź antysymetryczna. Forma dwuliniowa jest alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest antysymetryczna i wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe zeru (co wynika z antysymetryczności dla ciał o charakterystyce różnej od 2).

Jeśli macierz $𝐁$ formy dwuliniowej $B$ jest nieosobliwa (odwracalna), to samą formę $B$ nazywa się niezdegenerowaną lub także nieosobliwą (podobnie mówi się wtedy o samej przestrzeni $(V,B)$); w przeciwnym przypadku formę (lub przestrzeń dwuliniową) nazywa się zdegenerowaną lub osobliwą. Rzędem formy dwuliniowej $B$ bądź przestrzeni $(V,B)$ nazywa się rząd macierzy $𝐁$ tej formy (jest on dobrze określony, gdyż nie zależy od wyboru bazy ze względu na fakt, iż macierze przystające mają równe rzędy).

Przykłady

• Przestrzeń trywialna (zerowymiarowa) ma jedną formę dwuliniową, która nie ma macierzy (ma macierz pustą, tzn. typu $0\times 0$).
• Jeśli $K^n$ jest przestrzenią współrzędnych z bazą standardową ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n,$ to każda forma dwuliniowa $B(𝐱,𝐲)$ na tej przestrzeni liniowej jest postaci

$\sum _{i,j=1}^n{x}_i{y}_j{b}_{ij},$

gdzie $b_{ij}=B({𝐞}_i,{𝐞}_j).$

• Jeśli $x_0$ jest ustalonym punktem przestrzeni liniowej $X^{*}$ form (funkcjonałów) na $X,$ to wzór

$B(f,g)=f(x_0)g(x_0)$

zadaje formę dwuliniową na tej przestrzeni.

• Jeśli $(V,B)$ jest przestrzenią dwuliniową, zaś $W$ jest podprzestrzenią $V,$ to zawężenie $B$ do $W$ daje podprzestrzeń dwuliniową $(W,B{|}_W),$ oznaczaną też po prostu $(W,B)$ (konstrukcję tę można również przeprowadzić za pomocą przestrzeni ilorazowej); podprzestrzeń dziedziczy własności refleksywności, alternacyjności, symetryczności i antysymetryczności z przestrzeni wyjściowej, lecz niekoniecznie jej niezdegenerowania; jeśli $K=ℝ,$ zaś $B$ jest dodatnio określona (tzn. $B(𝐱,𝐱)>0$ dla dowolnego $𝐱\ne 0$), to własność ta zachodzi dla dowolnej niezerowej podprzestrzeni $W\subseteq V,$ skąd $B{|}_W$ jest również dodatnio określona, a zatem niezdegenerowana.
• Jeżeli $(V_1,B_1)$ i $(V_2,B_2)$ są przestrzeniami dwuliniowymi na tym samym ciałem, to suma prosta $V_1\oplus V_2$ wraz z formą dwuliniową $(B_1\oplus B_2)(({𝐱}_1,{𝐱}_2),({𝐲}_1,{𝐲}_2))=B_1({𝐱}_1,{𝐲}_1)+B_2({𝐱}_2,{𝐲}_2)$ staje się podprzestrzenią dwuliniową; jeśli obie formy $B_1$ oraz $B_2$ są jednocześnie symetryczne, alternujące, antysymetryczne bądź refleksywne, to $B_1\oplus B_2$ również ma tę samą własność. Konstrukcję tę nazywa się ortogonalną sumą prostą przestrzeni $V_1$ oraz $V_2.$
• Jeśli $\mathrm{C}[a,b]$ oznacza przestrzeń liniową funkcji ciągłych $[a,b]\to ℝ,$ to funkcja $\mathrm{I}:\mathrm{C}[a,b]\times \mathrm{C}[a,b]\to ℝ$ dana wzorem

$\mathrm{I}(f,g)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$

definiuje zdegenerowaną formę dwuliniową na tej przestrzeni: nie jest ona surjektywna, gdyż np. forma delta Diraca należy do jej przestrzeni sprzężonej (topologicznie), ale nie ma wymaganej postaci; z drugiej strony forma $\mathrm{I}$ spełnia skończeniewymiarową definicję niezdegenerowania.

• Każdy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej jest niezdegenerowaną formą dwuliniową, gdyż jego macierz w dowolnej bazie (macierz Grama) jest odwracalna: wyznacznik układu liniowo niezależnego jest różny od zera bądź wynika to wprost z dodatniej określoności iloczynu skalarnego. Z definicji jest on także symetryczny.
• Niech dla przestrzeni ${ℝ}^n$ dobrane będą nieujemne liczby całkowite $p,q$ spełniające $p+q=n.$ Wzór

$⟨𝐱,𝐲⟩=x_1{y}_1+\dots +x_p{y}_p-x_{p+1}{y}_{p+1}-\dots -x_n{y}_n,$

gdzie $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ oraz $𝐲=(y_1,\dots ,y_n),$ dany jest w notacji macierzowej jako

$⟨𝐱,𝐲⟩=𝐗\left[\begin{array}{cc}{𝐈}_p& \mathrm{\Theta }\\ \mathrm{\Theta }& -{𝐈}_q\end{array}\right]𝐘,$

gdzie $𝐗=[x_1\dots x_n]$ oraz $𝐘=[y_1\dots y_n{]}^{\mathrm{T}},$ zaś ${𝐈}_k$ oznacza kwadratową podmacierz jednostkową stopnia $k,$ a $\mathrm{\Theta }$ oznacza podmacierz zerową, definiuje formę dwuliniową, która czyni z przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n$ tzw. przestrzeń pseudoeuklidesową ${ℝ}^{p,q}.$ Przypadki ${ℝ}^{1,3}$ oraz ${ℝ}^{3,1}$ to modele przestrzeni Minkowskiego. Z twierdzenia Sylvestera o bezwładności form kwadratowych wynika, że każda niezdegenerowana (rezygnując z nieosobliwości dopuszcza się zera na przekątnej), symetryczna forma dwuliniowa ma w pewnej bazie (przestrzeni liniowej nad ciałem charakterystyki różnej od 2) powyższą postać.

Ortogonalność

Za pomocą formy dwuliniowej można wprowadzić pojęcie (uogólnionej) ortogonalności: wektory $𝐱$ i $𝐲$ są ortogonalne, co zapisuje się $𝐱\perp 𝐲,$ względem dwuliniowej formy $B$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$B(𝐱,𝐲)=0.$

Dla podprzestrzeni $W$ oraz wektora $𝐱$ przestrzeni $V$ pisze się $𝐱\perp W,$ jeżeli $𝐱\perp 𝐰$ dla wszystkich $𝐰$ z przestrzeni $W;$ podobnie $W\perp 𝐱$ oraz $U\perp W,$ gdzie $U$ jest pewną podprzestrzenią liniową (definicje te rozszerza się często na dowolne podzbiory). Relacja $𝐱\perp 𝐲$ nie musi pociągać, ani być pociągana przez $𝐲\perp 𝐱.$ Najważniejszymi formami dwuliniowymi są te, dla których relacja $\perp$ jest symetryczna, tzn.

$𝐱\perp 𝐲\iff 𝐲\perp 𝐱,$

co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy forma ją definiująca jest refleksywna (tzn. symetryczna bądź alternująca). Wówczas dla dowolnej podprzestrzeni $W$ można zdefiniować zbiór

$W^{\perp }=\{𝐱:𝐱\perp 𝐲\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\dot{\mathrm{z}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{o}𝐲\in W\}$

tworzący przestrzeń liniową (gdyż jest to jądro $B_{\mathrm{L}},$ bądź $B_{\mathrm{R}}$ na mocy symetryczności) nazywaną dalej podprzestrzenią ortogonalną do $W$; w literaturze częściej spotyka się nazwę „dopełnienie ortogonalne”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, gdyż może się zdarzyć, iż $W+W^{\perp }\ne V.$ Wektory należące do tej części wspólnej (tzw. podprzestrzeni izotropowej), tzn. wektory $𝐱$ spełniające $𝐱\perp 𝐱$ (prostopadłe do samych siebie), nazywa się izotropowymi; wektory niespełniające tego warunku nazywane są czasem nieizotropowymi bądź anizotropowymi. Zachodzi wzór $\dim W+\dim W^{\perp }=\dim V$. Podprzestrzeń ortogonalna jest trywialna (czyli dana przestrzeń nie ma niezerowych wektorów izotropowych), tzn. przestrzeń $V$ jest sumą prostą $W\oplus W^{\perp },$ wtedy i tylko wtedy, gdy forma dwuliniowa jest niezdegenerowana (jedynym anizotropowym wektorem przestrzeni unitarnej jest zero, gdyż dodatnia określoność iloczynu skalarnego pociąga jego niezdegenerowanie, zob. przedostatni przykład). Wówczas dla dowolnych podprzestrzeni $W_1,W_2$ przestrzeni $V$ jest $(W_1+W_2{)}^{\perp }=W_1^{\perp }\cap W_2^{\perp }$ oraz $(W_1\cap W_2{)}^{\perp }=W_1^{\perp }+W_2^{\perp }$ i zachodzi również ${\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }=W,$ zaś podprzestrzeń $W$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy $W^{\perp }$ jest niezdegenerowana. Warunki $V=W\oplus W^{\perp }$ oraz $\dim V=\dim W+\dim W^{\perp }$ nie są równoważne – pierwszy pociąga drugi, lecz implikacja odwrotna jest fałszywa: podprzestrzenie $W$ i $W^{\perp }$ mogą mieć nietrywialne przecięcie, choć suma ich wymiarów może uzupełniać się do wymiaru przestrzeni; zgodnie z powyższymi obserwacjami wspomniana równość dotycząca wymiarów jest prawdziwa, gdy $V$ jest niezdegenerowana, a $W$ jest dowolna albo gdy $V$ jest dowolna, a $W$ jest niezdegenerowana.

Układ $({𝐱}_i{)}_i$ wektorów przestrzeni $V$ nazywa się ortogonalnym, jeżeli dla dowolnych $i\ne j$ zachodzi ${𝐱}_i\perp {𝐱}_j.$ Dowolny układ ortogonalny wektorów anizotropowych jest liniowo niezależny. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru wyposażonej w symetryczną formę dwuliniową jej bazę nazywa się ortogonalną, jeżeli tworzy ona układ ortogonalny; niech $\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$ oznacza bazę ortogonalną przestrzeni $V.$ Geometrycznie stanowi ona rozkład $V$ na ortogonalną sumę prostą $W_1\oplus \dots \oplus W_n$ prostych $W_i=K{𝐞}_i.$ Pojęcie bazy ortonormalnej, czyli takiej bazy ortogonalnej, dla której $B({𝐞}_i,{𝐞}_i)=1$ (znanej z przestrzeni euklidesowych) nie znajduje właściwie zastosowań w ogólnej sytuacji, gdyż może ona po prostu nie istnieć. Każda skończeniewymiarowa przestrzeń ortogonalna nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę ortogonalną (wynika stąd, że każda macierz symetryczna przystaje do macierzy diagonalnej, zob. ostatni przykład; ponadto $V$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy ${𝐞}_i\perp ̸{𝐞}_i$ gdzie $\mathrm{P}\mathrm{G}(V)$ oznacza zbiór wszystkich podzbiorów przestrzeni $V$ tworzący przestrzeń rzutową, nazywa się biegunowością ortogonalną na przestrzeni $\mathrm{P}\mathrm{G}(W).$ W ten sposób powstają wszystkie biegunowości ortogonalne, a dwie symetryczne formy dwuliniowe indukują tę samą biegunowość wtedy i tylko wtedy, gdy są równe co do mnożenia przez skalar.

Symplektyczność

Zamieniając warunek symetryczności formy dwuliniowej na alternacyjność można wprowadzić analogon baz ortogonalnych w postaci tzw. baz symplektycznych. Niech dana będzie przestrzeń $(V,B)$ z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą. Wówczas jej wymiar $\dim V=2m$ jest dodatnią liczbą parzystą. Bazą symplektyczną przestrzeni $V$ nazywa się układ wektorów ${𝐞}_1,{𝐟}_1,\dots ,{𝐞}_m,{𝐟}_m,$ który spełnia $B({𝐞}_i,{𝐟}_i)=1$ oraz dla której płaszczyzny $⟨{𝐞}_i⟩+⟨{𝐟}_i⟩$ są ortogonalne. Ponadto z alternacyjności wynika $B({𝐟}_i,{𝐞}_i)=-1.$ Dowolne dwie przestrzenie z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą są równoważne; w szczególności w przestrzeni ustalonego parzystego wymiaru istnieje tylko jedna niezdegenerowana, alternująca forma dwuliniowa. Formę dwuliniową na $K^{2m},$ która ma w bazie standardowej ${𝐞}_1,{𝐟}_1,\dots ,{𝐞}_m,{𝐟}_m$ macierz złożoną z klatek postaci $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ na głównej przekątnej i podmacierzy zerowych $\mathrm{\Theta }$ w pozostałych miejscach, nazywa się standardową formą alternującą bądź formą objętości na tej przestrzeni. W bazie Darboux ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_m,{𝐟}_1,\dots ,{𝐟}_m$ ma ona postać

$𝐁=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Theta }& {𝐈}_m\\ {\mathbf{-}𝐈}_m& \mathrm{\Theta }\end{array}\right],$

gdzie ${𝐈}_m$ jest podmacierzą jednostkową stopnia $m.$

Jak wspomniano wyżej, pojęcie podprzestrzeni ortogonalnej można również zdefiniować dla form alternujących; podprzestrzeń $W$ nazywa się

• symplektyczną, jeżeli $W^{\perp }\cap W=\{\mathrm{𝟎}\},$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ zawężona do $W$ jest niezdegenerowana.
• izotropową, jeśli $W\subseteq W^{\perp },$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ zawężona do $W$ jest tożsamościowo równa zeru (każda podprzedstrzeń jednowymiarowa jest izotropowa).
• koizotropową, gdy $W^{\perp }\subseteq W,$ czyli wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ przeniesiona na przestrzeń ilorazową $W/W^{\perp }$ jest niezdegenerowana, co jest równoważne izotropowości $W^{\perp }$ (każda podprzestrzeń kowymiaru 1 jest koizotropowa).
• Lagrange’a, jeżeli $W=W^{\perp },$ tzn. gdy jest zarazem izotropowa i koizotropowa; w przestrzeniach skończonego wymiaru podprzestrzenie te mają wymiar równy połowie wymiaru $V;$ każdą podprzestrzeń izotropową można rozszerzyć tak, by była Lagrange’a (zob. grassmannian Lagrange'a).

Wyznacznik dowolnej nieosobliwej macierzy alternującej (antysymetrycznej) $𝐌$ nad ciałem $K$ jest kwadratem pewnej liczby z $K$, nazywa się go pfaffianem $\mathrm{P}\mathrm{f}(𝐌)$ tej macierzy – jest to zatem uniwersalna konstrukcja pierwiastka wyznacznika odwracalnych macierzy alternujących (z dokładnością do znaku). Dla dowolnych macierzy kwadratowych $𝐌$ i $𝐂$ parzystego stopnia $n$ zachodzi ponadto

$\mathrm{P}\mathrm{f}\left({𝐂}^{\mathrm{T}}𝐌𝐂\right)=\det 𝐂\mathrm{P}\mathrm{f}𝐌,$

gdzie $𝐌$ jest macierzą alternującą. Dodatkowo $\mathrm{P}\mathrm{f}\left({𝐌}^{\mathrm{T}}\right)=(-1{)}^{n/2}\mathrm{P}\mathrm{f}𝐌.$ Jeżeli $𝐌$ jest nieodwracalna, to $\mathrm{P}\mathrm{f}𝐌=0;$ jeśli $𝐂$ jest macierzą zamiany współrzędnych do bazy standardowej odwracalnej macierzy $𝐌$ (tzn. $𝐌$ i $𝐂$ są takimi macierzami odwracalnymi, że ${𝐂}^{\mathrm{T}}𝐌𝐂$ jest standardową formą alternującą na przestrzeni), to $\mathrm{P}\mathrm{f}𝐌=1/\det 𝐂.$

Iloczyny tensorowe

Szablon:Osobny artykuł O formach dwuliniowych na przestrzeni liniowej można myśleć jak o przekształceniach liniowych danej przestrzeni w przestrzeń dualną, co opisano w sekcji o macierzy formy; konstrukcja iloczynu tensorowego umożliwia traktowanie form dwuliniowych jako przekształceń liniowych: na mocy własności uniwersalnej iloczynu tensorowego forma dwuliniowa $B$ na przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ pozostaje we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z formą liniową $V{\otimes }_{K}V\to K$ daną wzorem

$𝐱\otimes 𝐲\mapsto B(𝐱,𝐲).$

Z definicji formy liniowe tworzą przestrzeń dualną; w ten sposób przestrzeń $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{l}(V)$ form dwuliniowych na $V$ jest naturalnie izomorficzna z $(V{\otimes }_{K}V{)}^{*},$ którą można z kolei w naturalny sposób utożsamiać z $V^{*}\otimes V^{*}={\left(V^{*}\right)}^{\otimes 2}$ poprzez odwzorowanie $(\phi \otimes \psi )(𝐱\otimes 𝐲)=\phi (𝐱)\psi (𝐲).$ Spojrzenie to tłumaczy zatem, złożeniem których przekształceń liniowych jest mnożenie macierzy form dwuliniowych.

Niech ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V,W)$ oznacza przestrzeń liniową przekształceń liniowych $V\to W.$ Przekształceniu dwuliniowemu $V\times W\to U,$ gdzie $U,V,W$ są dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K$ odpowiada przekształcenie liniowe $V{\otimes }_{K}W\to U,$ przy czym zachodzą następujące izomorfizmy naturalne:

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V{\otimes }_{K}W,U)\simeq {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V,{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(W,U))$

oraz

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V{\otimes }_{K}W,U)\simeq {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(W,{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V,U)).$

Pierwszy z nich przekształca $\mathrm{A}\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V{\otimes }_{K}W,U)$ w $𝐱\mapsto [𝐲\mapsto \mathrm{A}(𝐱\otimes 𝐲)],$ drugi zaś w $𝐲\mapsto [𝐱\mapsto \mathrm{A}(𝐱\otimes 𝐲)].$ Jeśli $V=W,$ a $U=K$ (ciało taktowane jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa nad sobą), to stają się one dwoma różnymi izomorfizmami $(V{\otimes }_{K}V{)}^{*}$ na ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V,V^{*}),$ mianowicie $B\mapsto B_{\mathrm{L}}$ oraz $B\mapsto B_{\mathrm{R}}.$

Dwie szczególne klasy form dwuliniowych, formy symetryczne oraz alternujące, można opisać w języku potęg symetrycznej i zewnętrznej. Forma symetryczna postrzegana jako forma liniowa $V{\otimes }_{K}V\to K$ jest symetryczna, jeżeli znikają dla niej wszystkie tensory postaci $𝐱\otimes 𝐲-𝐲\otimes 𝐱$ i alternująca, jeśli znikają dla niej tensory postaci $𝐱\otimes 𝐱.$ W ten sposób forma dwuliniowa symetryczna może być traktowana jako forma liniowa ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V)\to K$ odwzorowująca $𝐱\cdot 𝐲\mapsto B(𝐱,𝐲),$ gdzie kropka oznacza iloczyn symetryczny (wewnętrzny) w ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V);$ formy alternujące utożsamia się z kolei z przekształceniami ${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}^2(V)\to K$ danymi wzorem $𝐱\wedge 𝐲\mapsto B(𝐱,𝐲),$ gdzie $\wedge$ oznacza iloczyn alternujący (zewnętrzny). Ponieważ formy liniowe tworzą przestrzeń dualną, to symetryczne formy dwuliniowe są elementami ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V{)}^{*},$ zaś alternujące formy dwuliniowe to elementy ${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}^2(V{)}^{*},$ przy czym można utożsamić te przestrzenie odpowiednio z drugą potęgą symetryczną ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V^{*})$ i drugą potęgą zewnętrzną ${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}^2(V^{*})$ przestrzeni $V^{*}.$

Ponieważ ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V)$ i ${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}^2(V)$ są dobrze określone jako przestrzenie ilorazowe $V^{\otimes 2},$ to poza ciałem charakterystyki 2 można je utożsamiać z odpowiednimi podprzestrzeniami $V^{\otimes 2},$ mianowicie pisząc $𝐱\otimes 𝐲+𝐲\otimes 𝐱$ zamiast $𝐱\cdot 𝐲\in {\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V)$ oraz $𝐱\otimes 𝐲-𝐲\otimes 𝐱$ w miejsce $𝐱\wedge 𝐲\in {\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}^2(V).$ W ten sposób $V^{\otimes 2}={\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V)\oplus {\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}^2(V)$ na mocy wzoru $𝐱\otimes 𝐲=\frac{1}{2}(𝐱\otimes 𝐲+𝐲\otimes 𝐱)+\frac{1}{2}(𝐱\otimes 𝐲-𝐲\otimes 𝐱).$ Zamieniając $V$ na $V^{*}$ otrzymuje się ${\left(V^{*}\right)}^{\otimes 2}={\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V^{*})\oplus {\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}^2(V^{*})$ poza ciałem charakterystyki 2, czyli przedstawienie ogólnej formy dwuliniowej w postaci jednoznacznej sumy form dwuliniowych symetrycznej i antysymetrycznej (zob. własności).

Zastosowania

Teoria form dwuliniowych znajduje zastosowanie w wielu działach matematyki:

• w analizie wielowymiarowej formą dwuliniową jest druga pochodna w przestrzeni euklidesowej – przy odpowiednich założeniach (twierdzenie Clairaut bądź Schwarza) jest ona symetryczna (a jej macierzą w ustalonej bazie jest macierz Hessego)
• w rachunku wariacyjnym określoność tej formy dwuliniowej mówi o kształcie hiperpowierzchni (ekstremum, siodło) wokół punktu krytycznego danej formy (funkcjonału)
• w geometrii rzutowej formy dwuliniowe służą ustaleniu dualności i umożliwiają zdefiniowanie kolineacji, a przede wszystkim korelacji (konstrukcja dopełnienia ortogonalnego dla niezdegenerowanej formy dwuliniowej stanowi jej uogólnienie), dodanie warunku inwolutywności korelacji pozwala na badanie biegunowości
• w analizie funkcjonalnej ograniczone i eliptyczne (koercywne) formy dwuliniowe na przestrzeni Hilberta występujące w twierdzeniu Laxa-Milgrama mówią o jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), w tym równania Poissona pojawiającego się m.in. w elektrostatyce czy w problemach mechaniki ośrodków ciągłych;
• rzeczywiste przestrzenie liniowe wyposażone w niezdegenerowane dwuliniowe formy alternujące są lokalnymi modelami dla przestrzeni fazowych w mechanice hamiltonowskiej.
• dodatnio określone, symetryczne formy dwuliniowe odgrywają istotną rolę w analizie (rzeczywiste przestrzenie Hilberta), jak i w geometrii (rozmaitości riemannowskie);
• niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w szczególnej teorii względności, gdzie bada się przestrzenie pseudoeuklidesowe (zob. ostatni przykład)
• niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w ogólnej teorii względności, gdzie bada się rozmaitości pseudoriemannowskie

Zobacz też

Typy form

• forma
• forma kwadratowa
• forma liniowa
• forma półtoraliniowa
• forma wieloliniowa

Własności

• określoność formy

Przykłady form w geometrii

• metryka euklidesowa
• metryka pseudoriemannowska
• metryka riemannowska

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Bilinear form Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Szablon:Formy na przestrzeniach liniowych Szablon:Struktury na przestrzeniach liniowych