Twierdzenie Laxa-Milgrama

Szablon:Spis treści Twierdzenie Laxa–Milgrama – twierdzenie analizy funkcjonalnej dowiedzione w 1954 roku przez Petera Laxa i Arthura Milgrama, które uogólnia twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału określonego na przestrzeni Hilberta.

Twierdzenie to, wraz z uogólnieniami zebranymi w osobnej sekcji, znalazło zastosowanie w teorii równań różniczkowych cząstkowych, gdzie dając warunki „odwracalności” funkcjonału dwuliniowego, umożliwia wykazanie istnienia i jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), zob. Zastosowania i Przykłady.

Twierdzenie

Szablon:Zobacz też Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta nad ciałem liczb zespolonych (bądź liczb rzeczywistych) z iloczynem skalarnym $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ indukującym normę $\Vert \cdot \Vert ,$ zaś $B$ będzie funkcjonałem półtoraliniowym (bądź dwuliniowym) na tej przestrzeni, który spełnia dla pewnych skalarów $b,c>0$ oraz dowolnych wektorów $u,v\in H$ warunki:

• ograniczoności,

  $|B(u,v)|⩽c\Vert u\Vert \Vert v\Vert ;$

• koercywności lub eliptyczności,

  $|B(u,u)|⩾b\Vert u{\Vert }^2.$

Wówczas każdy ograniczony funkcjonał liniowy jest postaci

$\phi (u)=B(u,v),$

gdzie $v$ jest jednoznacznie wyznaczonym przez $\phi$ elementem $H.$

Dowód

Szablon:Zobacz też Z ograniczoności i eliptyczności $B$ wynika, że $B(u,\cdot )$ jest ograniczonym funkcjonałem liniowym, który z twierdzenia Riesza można zapisać w postaci

$B(u,v)=⟨u,w⟩$

dla pewnego $w\in H,$ przy czym element ten jest wyznaczony jednoznacznie przez $v,$ zatem może być traktowany jako funkcja zmiennej $v;$ więcej, z powyższego wzoru wynika, że zależność ta jest liniowa, co oznacza, że zbiór elementów $w$ wskazanych w tym wzorze przy ustalonym $v\in H$ tworzy przestrzeń liniową.

Zdefiniowana wyżej podprzestrzeń jest domknięta. Otóż przyjmując $u=v$ otrzymuje się

$B(v,v)=⟨v,w⟩,$

co przy zastosowaniu eliptyczności do lewej, a nierówności Schwarza do prawej strony tej równości i podzieleniu jej przez $\Vert v\Vert$ daje oszacowanie

$b\Vert v\Vert ⩽\Vert w\Vert .$

Niech $\{w_n\}$ będzie ciągiem wyznaczanym przez $B(u,\cdot ),$ zaś $\{v_n\}$ będzie ciągiem odpowiadającym poprzedniemu poprzez wzór

$B(u,v_n)=⟨u,w_n⟩;$

wtedy odejmowanie i półtoraliniowość (dwuliniowość) dają $B(u,v-v_n)=⟨u,w-w_n⟩,$ co przy podanym wyżej oszacowaniu daje, iż $b\Vert v_n-v\Vert =\Vert w_n-w\Vert ,$ skąd zbieżność $w_n\to w$ pociąga, że $\{v_n\}$ jest ciągiem Cauchy’ego; zupełność $H$ daje zbieżność $v_n\to v.$ Ograniczoność $B$ zapewnia o zbieżności $B(u,v_n)\to B(u,v),$ zaś nierówność Schwarza prowadzi do zbieżności $⟨u,w_n⟩\to ⟨u,w⟩$ (tzw. słabej zbieżności $w_n\rightharpoonup w$), która dowodzi już domkniętości wspomnianej podprzestrzeni.

Opisana wyżej domknięta podprzestrzeń to cała przestrzeń $H,$ gdyż w przeciwnym razie z twierdzenia o zbiorze wypukłym wynikałoby istnienie niezerowego wektora $u$ ortogonalnego do wszystkich $w.$ Z postaci $B(u,\cdot )$ można by wnosić, że taki $u$ spełniałby $B(u,v)=0$ dla wszystkich $v.$ Jednakże przyjęcie $v=u$ pociągałoby $B(u,u)=0,$ które wraz z eliptycznością $B$ dałoby $\Vert u\Vert =0$ pozostające w sprzeczności z $u\ne 0.$

Ostatecznie twierdzenie Riesza mówi, że wszystkie funkcjonały $\phi (u)$ mogą być przedstawione jako $⟨u,w⟩,$ gdzie $w\in H,$ co w połączeniu z postacią $B(u,\cdot )$ daje tezę, przy czym jednoznaczność wynika z eliptyczności.

Uogólnienia

Szablon:Zobacz też W 1971 roku Ivo Babuška podał następujące uogólnienie wyniku Laxa i Milgrama, w którym zrezygnował on wymagania, by funkcjonał dwuliniowy określony był na wspólnej przestrzeni.

Twierdzenie Babuški–Laxa–Milgrama

Niech $U$ oraz $V$ będą dwiema rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta, a $B:U\times V\to ℝ$ będzie ciągłym przekształceniem dwuliniowym, które jest ponadto

• „słabo koercywne”: dla pewnej stałej $c>0$ i wszystkich $u\in U$ zachodzi

$\underset{\Vert v\Vert =1}{\sup }|B(u,v)|⩾c\Vert u\Vert ,$

oraz dla niezerowego $v\in V$ i pewnej stałej $k>0$ spełnia

$\underset{\Vert u\Vert =1}{\sup }|B(u,v)|⩾k\Vert v\Vert .$

Wówczas dla wszystkich $\phi \in V^{\ast }$ istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie $u=u_{\phi }\in U$ słabego sformułowania (zob. Zastosowania)

$B(u,v)=⟨\phi ,v⟩\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{s}\mathrm{z}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}v\in V.$

Więcej, rozwiązanie to zależy w sposób ciągły od danych, tzn.

$\Vert u_{\phi }\Vert ⩽\frac{1}{c}\Vert \phi \Vert .$

Inne uogólnienie twierdzenia Laxa-Milgrama pochodzi od Jacques’a-Louisa Lions.

Twierdzenie Lions–Laxa–Milgrama

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta, $V$ oznacza przestrzeń unormowaną, zaś $B:H\times V\to ℝ$ będzie ciągłym przekształceniem dwuliniowym. Wówczas następujące warunki są równoważne:

• „słaba koercywność”: dla pewnego skalara $c>0$ zachodzi

  $\underset{\Vert v{\Vert }_V=1}{\inf }\underset{\Vert u{\Vert }_H⩽1}{\sup }|B(u,v)|⩾c;$

• „słaba odwracalność”: dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego $\phi \in V^{\ast }$ istnieje taki element $u\in H$ dla którego zachodzi

  $B(u,v)=⟨\phi ,v⟩\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\dot{\mathrm{z}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{o}v\in V.$

Powyższe twierdzenie stosuje się zwykle pod postacią następującej obserwacji, której założenia pojawiają się dość często i są względnie łatwe do sprawdzenia w zastosowaniach praktycznych.

Wniosek

Niech $V$ będzie zanurzona w sposób ciągły w $H;$ jeśli $B$ jest

• $V$-eliptyczna, czyli dla pewnego $c>0$ i wszystkich $v\in V$ zachodzi

  $\Vert v{\Vert }_H⩽c\Vert v{\Vert }_V;$

• koercywna, dla pewnego $b>0$ i każdego $v\in V$ jest

  $B(v,v)⩾b\Vert v{\Vert }_V^2;$

to spełniony jest warunek „słabej koercywności” twierdzenia Lions–Laxa–Milgrama (skąd wynika istnienie „słabej odwrotności”)

Zastosowania

Szablon:Zobacz też Na pytanie o istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych istnieje odpowiedź w postaci twierdzenia Picarda-Lindelöfa; jego odpowiednik dla równań różniczkowych cząstkowych, twierdzenie Cauchy’ego-Kowalewskiej, mówi z kolei, że zagadnienie Cauchy’ego dowolnego równania różniczkowego cząstkowego o współczynnikach analitycznych względem poszukiwanej funkcji i jej pochodnych ma lokalnie jednoznaczne rozwiązanie analityczne. Choć wynik ten zdaje się rozwiązywać problem istnienia i jednoznaczności rozwiązań, to istnieją jednak przykłady liniowych równań różniczkowych cząstkowych o współczynnikach mających pochodne wszystkich rzędów (choć nieanalitycznych), które mimo tego nie mają rozwiązań. Jeśli nawet rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego istnieje i jest jednoznaczne, to może ono mieć niepożądane własności; jeżeli równanie inspirowane było naukami przyrodniczymi, to może nie mieć ono przez to satysfakcjonującego w nich zastosowania.

Właściwą odpowiedzią na bolączki teorii klasycznej okazało się osłabienie niektórych jej założeń. Jednym z najważniejszych sposobów jest przyzwolenie na to, że rozwiązania nie muszą być dobrze określonymi funkcjami w klasycznym sensie, lecz mogą być słabymi rozwiązaniami względem pewnych wektorów lub funkcji testowych (tzn. dystrybucjami. Zwykle należą one do pewnej przestrzeni Sobolewa), a przy tym nie muszą być wcale różniczkowalne – z punktu widzenia zastosowań brak tego wymogu jest bardzo pożądany, gdyż w modelowaniu zjawisk świata rzeczywistego nieustannie napotyka się równania, które nie mają dostatecznie gładkich rozwiązań. Wówczas wygodnie jest udowodnić najpierw istnienie słabych rozwiązań, a dopiero potem wykazać ich wystarczającą gładkość.

Niech $V$ będzie przestrzenią Banacha; należy znaleźć rozwiązanie $u\in V$ równania

$\mathrm{A}(u)=\phi ,$

gdzie $\mathrm{A}:V\to V^{\ast }$ oraz $\phi \in V^{\ast }$ jest funkcjonałem liniowym na $V,$ czyli elementem przestrzeni sprzężonej $V^{\ast }.$ Opierając się na metodach rachunku wariacyjnego powyższe zagadnienie można przedstawić jako poszukiwanie takiego $u\in V,$ że dla wszystkich $v\in V$ zachodzi

$(\mathrm{A}(u))(v)=\phi (v)$

przy czym element $v$ nazywa się wektorem testowym lub funkcją testową (gdy $V$ jest przestrzenią funkcji). Powyższe równanie można przedstawić w ogólnej postaci słabego sformułowania: znalezienia $u\in V,$ które spełniałoby dla wszystkich $v\in V$ równanie

$B(u,v)=\phi (v)$

poprzez zadanie funkcjonału dwuliniowego wzorem $B(u,v)=(\mathrm{A}(u))(v).$ Konkretne przykłady można znaleźć w kolejnej sekcji.

Osiągnięciem Laxa i Milgrama było wskazanie warunków wystarczających na to, by dane zagadnienie w słabych sformułowaniu miało jednoznaczne rozwiązanie zależące w sposób ciągły od danych $\phi \in V^{\ast }:$ otóż wystarczy by $V$ było przestrzenią Hilberta, a funkcjonał $B$ (będący często pewną modyfikacją iloczynu skalarnego) na niej określony był ograniczony, czyli ciągły, i koercywny; tezę twierdzenia uzupełnia się niekiedy o oszacowanie normy rozwiązania $u\in V$ równania $B(u,v)=\phi (v),$ mianowicie $\Vert u\Vert ⩽\frac{1}{c}\Vert \phi \Vert$ (pojawia się ono jako wiersz dowodu). Wkładem Babuški było przyjęcie, iż $B$ jest parowaniem między przestrzeniami Hilberta (słabe rozwiązania i wektory testowe), podczas gdy Lions zakłada, iż parowanie ma miejsce między przestrzeniami Hilberta (słabe rozwiązania) i unormowaną (wektory testowe).

Przykłady

Układ równań liniowych

Szablon:Zobacz też Użycie twierdzenia Laxa–Milgrama w tym wypadku jest „strzelaniem z armaty do wróbla”, jednak przykład ten umożliwia wgląd w bardziej skomplikowane przypadki. Niech $V={ℝ}^n$ będzie przestrzenią unitarną (tj. przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym), a $\mathrm{A}:V\to V$ będzie przekształceniem liniowym opisującym układ równań liniowych. Rozwiązanie równania $\mathrm{A}(𝐮)=𝝋$ w słabym sformułowaniu polega na poszukiwaniu takiego $𝐮\in V,$ że dla wszystkich $𝐯\in V$ spełnione jest równanie

$⟨\mathrm{A}(𝐮),𝐯⟩=⟨𝝋,𝐯⟩,$

gdzie $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ oznacza standardowy iloczyn skalarny (będący funkcjonałem dwuliniowym). Ponieważ $\mathrm{A}$ jest przekształceniem liniowym, to do testowania wystarczające są wektory bazowe (zob. twierdzenie), skąd otrzymuje się

$⟨\mathrm{A}(𝐮),{𝐞}_i⟩=⟨𝝋,{𝐞}_i⟩\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}i=1,\dots ,n.$

Korzystając z zapisu macierzowego wektory $𝐮={\sum }_{j=1}^n{u}_j{𝐞}_j$ i $𝝋={\sum }_{j=1}^n{\phi }_j{𝐞}_j$ oraz przekształcenie $\mathrm{A}({𝐞}_j)={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{𝐞}_i$ można przedstawić w postaci macierzy, odpowiednio $𝐔=[u_1,\dots ,u_n{]}^{\mathrm{T}}$ i $𝜱=[{\phi }_1,\dots ,{\phi }_n{]}^{\mathrm{T}}$ oraz $𝐀=[a_{ij}],$ gdzie $a_{ij}=⟨\mathrm{A}({𝐞}_j),{𝐞}_i⟩,$ zaś ${\phi }_i=⟨𝝋,{𝐞}_i⟩;$ daje to następującą macierzową postać problemu $𝐀𝐔=𝜱.$ Związany z tym słabym sformułowaniem funkcjonał dwuliniowy dany jest wzorem

$B(𝐮,𝐯)=⟨\mathrm{A}(𝐮),𝐯⟩=𝐀𝐔\cdot 𝐕{\stackrel{=\mathrm{d}\mathrm{f}}{𝐕}}^{\mathrm{T}}𝐀𝐔,$

gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny macierzy (zdefiniowany kolejną równością), zaś $(\cdot {)}^{\mathrm{T}}$ oznacza transponowanie macierzy.

Ograniczoność powyższego funkcjonału dwuliniowego wynika ze skończonego wymiaru przestrzeni ${ℝ}^n,$ w rzeczywistości $c=\Vert \mathrm{A}\Vert .$ Z kolei koercywność oznacza w istocie, że części rzeczywiste wartości własnych $\mathrm{A}$ nie są mniejsze od $c;$ w szczególności żadna wartość własna nie jest zerem, skąd układ jest rozwiązalny. Ponadto otrzymuje się oszacowanie $\Vert 𝐮\Vert ⩽\frac{1}{c}\Vert 𝝋\Vert ,$ gdzie $c$ jest najmniejszą częścią rzeczywistą wartości własnej $\mathrm{A}.$

Równanie Poissona

Szablon:Zobacz też Poszukiwane będą rozwiązania równania Poissona,

$-\Delta u=\phi ,$

na dziedzinie $\Omega \subseteq {ℝ}^n,$ dla której $u\equiv 0$ na jej brzegu; przestrzeń rozwiązań $V$ zostanie dookreślona w dalszej kolejności. Do wyprowadzenia słabego sformułowania wykorzystany zostanie iloczyn skalarny przestrzeni Lebesgue’a ${\mathrm{L}}^2,$

$⟨u,v⟩=\underset{\Omega }{\int }u(x)v(x)\lambda (\mathrm{d}x)=\underset{\Omega }{\int }uv\mathrm{d}\lambda \stackrel{\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{n}}{=}\int uv,$

dany za pomocą całki Lebesgue’a po zbiorze $\Omega$ względem miary Lebesgue’a $\lambda ;$ testowanie odbywać się będzie za pomocą funkcji różniczkowalnych $v,$ dzięki czemu słabe sformułowanie przyjmuje postać

$-\int \Delta uv=\int \phi v.$

Lewą stronę tego równania można uczynić bardziej symetryczną korzystając z całkowania przez części w oparciu o tożsamość Greena,

$\int \mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }v=\int \phi v.$

Powyższe równanie nazywa się zwykle słabym sformułowaniem równania Poissona; jedyne czego brakuje to przestrzeń $V.$ Wskazanie jej jest nieco kłopotliwe i dlatego zostanie ono tutaj pominięte: z pewnością musi ona nadawać sens temu równaniu, dlatego od pochodnych funkcji w tej przestrzeni powinno wymagać się całkowalności z kwadratem; własności te ma np. przestrzeń Sobolewa ${\mathrm{H}}_0^1(\Omega )$ funkcji o słabych pochodnych w ${\mathrm{L}}^2(\Omega )$ (przestrzeń ${\mathrm{H}}_0^1(\Omega )$ jest podprzestrzenią liniową ${\mathrm{L}}^2(\Omega )$) ze wskazanymi warunkami brzegowymi (tj. $u(x)=0$ na brzegu $\partial \Omega$). Standardową postać słabego sformułowania otrzymuje się przyjmując

$B(u,v)=\int \mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }v$

oraz

$\phi (v)=\int \phi v.$

Przy powyższej propozycji wyboru $V={\mathrm{H}}_0^1(\Omega )$ norma na tej przestrzeni zadana jest wzorem $\Vert v{\Vert }_V:=\Vert \mathrm{\nabla }v\Vert ,$ gdzie norma po prawej stronie jest normą ${\mathrm{L}}^2$ na $\Omega$ (o poprawności tego wzoru zapewnia nierówność Poincarégo). Ponieważ $|B(u,u)|=\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }^2$ i z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika, że $|B(u,v)|⩽\Vert \mathrm{\nabla }u\Vert \Vert \mathrm{\nabla }v\Vert ,$ to dla każdego $\phi \in {\mathrm{H}}^{-1}(\Omega )=H_0^1(\Omega {)}^{\ast }$ istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie $u\in V$ równania Poissona, które spełnia $\Vert \mathrm{\nabla }u\Vert ⩽\Vert \phi {\Vert }_{H^{-1}(\Omega )}.$

Bibliografia

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. Szablon:ISBN.