Zagadnienie Cauchy’ego

Zagadnienie Cauchy’ego, zagadnienie początkowe, problem Cauchy'ego – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcjiSzablon:Odn. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów.

Przykład

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }=\frac{y}{x^2+1},\\ y\left(\frac{\pi }{4}\right)=e^3.\end{array}$

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

$y=e^{\mathrm{arctg}x+C}.$

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej $C,$ więc:

$e^3=e^{\mathrm{arctg}\frac{\pi }{4}+C},$

$3=\mathrm{arctg}\frac{\pi }{4}+C,$

$C=3-\mathrm{arctg}\frac{\pi }{4}.$

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

$y=e^{\mathrm{arctg}x+3-\mathrm{arctg}\frac{\pi }{4}}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę