Rozkład prawdopodobieństwa

Rozkład prawdopodobieństwa – miara probabilistyczna określona na zbiorze wartości pewnej zmiennej losowej (wektora losowego). Formalnie rozkład prawdopodobieństwa można rozpatrywać bez odwołania się do zmiennych losowych.

Definicja formalna

Rozkład prawdopodobieństwa – to miara probabilistyczna $P$ określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej $Y.$ Dla rozkładów ciągłych jako przestrzeń polską wybiera się przestrzeń euklidesowa ${ℝ}^n.$

Rozkład prawdopodobieństwa nazywamy jednowymiarowym, jeżeli zmienna losowa jest 1-wymiarowa (tj. $n=1$), a wielowymiarowym, jeżeli $n>1.$

Zastosowanie zmiennych losowych

Przestrzenią probabilistyczną nazywa się trójkę uporządkowaną, złożoną z: a) przestrzeni zdarzeń elementarnych $\mathrm{\Omega },$ b) określonego na niej σ-ciała $ℱ,$ którego elementy są nazywane zdarzeniami losowymi, c) miary probabilistycznej $P,$ przyporządkowującej zdarzeniom liczby zwane prawdopodobieństwami.

Tak określone prawdopodobieństwo jest jednak niewygodne do badania, gdy $\mathrm{\Omega }$ jest zbiorem bez zadanych jakichkolwiek relacji między jego elementami. Dlatego definiuje się funkcję zwaną zmienną losową, która przyporządkowuje elementom przestrzeni $\mathrm{\Omega }$ elementy jakiejś przestrzeni mierzalnej $Y$ o pożądanych właściwościach. Najczęściej jako przestrzeń mierzalną wykorzystuje się przestrzeń euklidesową, tj. $Y={ℝ}^n,n\in {\mathbb{N}}_{+}.$ Wtedy zmienną losową nazywa się wektorem losowym.

Przeciwobraz każdego zbioru mierzalnego w $Y$ jest zdarzeniem losowym. Podzbiory mierzalne przestrzeni $Y$ tworzą σ-ciało, które oznaczać będziemy symbolem $ℬ(Y).$ Ponieważ zmienna losowa nie musi być funkcją różnowartościową, więc ten sam zbiór mierzalny $A\in ℬ(Y)$ można w ogólnym przypadku otrzymać z wielu różnych zdarzeń o różnych prawdopodobieństwach. Aksjomaty σ-ciała zapewniają, że wśród tych zdarzeń jest także ich suma i do niej jest przypisane największe prawdopodobieństwo. Suma ta jest równa przeciwobrazowi zbioru $A,$ czyli $X^{-1}(A).$

Rozkład zmiennej losowej $X$ – to funkcja $P_X$ określona na sigma ciele $ℬ(Y)$ taka że prawdopodobieństwo zdarzenia $A\in ℬ(Y)$ jest równe prawdopodobieństwu przypisanemu przeciwobrazowi $X^{-1}(A)$ zdarzenia $A:$

$P_X(A)=P(X^{-1}(A)).$

Rozkład $P_X$ jest nową miarą probabilistyczną. Jest on w przestrzeni stanów $Y$ odpowiednikiem miary probabilistycznej $P.$

Uwaga 1:

Zapis $P_X$ gdzie $X$ jest zdarzeniem, a nie zmienną losową jest stosowany na oznaczenie prawdopodobieństwa warunkowego.

Uwaga 2:

Niżej omówiono rozkłady ciągłe i dyskretne. Oprócz nich istnieją także rozkłady nie mieszczące się w żadnej z tych kategorii – na przykład rozkład o dystrybuancie Cantora.

Rozkład ciągły

Szablon:Osobny artykuł Jeżeli istnieje funkcja $f:Y\to [0,\mathrm{\infty }),$ taka że

$P(A)=\underset{A}{\int }f(x)dx$

(całka Lebesgue’a) dla dowolnego zbioru borelowskiego $A\in ℬ(Y),$ to funkcję tę nazywa się gęstością rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją gęstości prawdopodobieństwa).

Nazwa pochodzi od intuicji fizycznych (zob. gęstość masy). O rozkładzie $P$ mającym gęstość mówi się, że jest ciągły (lub typu ciągłego).

Powyższa definicja jest poprawna dla dowolnych rozkładów prawdopodobieństwa, także wielowymiarowych – wówczas $x$ jest wektorem.

Rozkład $P_X$ zmiennej losowej $X$ spełniający powyższe warunki definiuje się analogicznie. O zmiennej losowej również mówi się wówczas, iż jest ciągła (lub typu ciągłego).

Rozkład dyskretny

Szablon:Osobny artykuł Rozkład $P$ nazywa się dyskretnym, jeśli jest skupiony na zbiorze przeliczalnym, tzn. istnieje zbiór (co najwyżej) przeliczalny $S\subseteq Y$ dla którego $P(S)=1.$ Jeżeli

$S=\{s_i:i\in I\}$ oraz $p_i=P(\{s_i\})$ dla każdego $i\in I,$

to dla dowolnego zbioru borelowskiego $A$

$P(A)=P(A\cap S)=\sum _{i\in I}{p}_i{1}_A(s_i),$

gdzie $1_A$ to indykator (funkcja charakterystyczna) zbioru $A.$

Zatem zbiór par $\{(s_i,p_i):i\in I\}$ jednoznacznie wyznacza rozkład $P.$ Stąd dowolny zbiór tej postaci, gdzie $p_i>0$ oraz $\sum p_i=1$ (co wynika z własności rozkładu), nazywa się czasami rozkładem (dyskretnym). Odwzorowanie $s_i\mapsto p_i,$ oznaczane $\mathrm{pmf}(s_i)=p_i,$ nosi nazwę funkcji masy prawdopodobieństwa i jest ono dyskretnym odpowiednikiem gęstości prawdopodobieństwa.

Dyskretna zmienna losowa $X$ to zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym. Wówczas można go zdefiniować podobnie jak wyżej równością

$P_X(\{x_i\})=P(X^{-1}(A)),$

jednakże w tym wypadku zachodzi dodatkowo

$P(X^{-1}(A))=P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X(\omega )=x_i\})\stackrel{\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{n}}{=}P(X=x_i)\stackrel{\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{n}}{=}{\mathrm{pmf}}_X(x_i),$

gdzie ${\left\{x_i\right\}}_{i\in I}$ jest zbiorem wszystkich wartości przyjmowanych przez zmienną $X.$

Dystrybuanta rozkładu jednowymiarowego

Szablon:Osobny artykuł Dystrybuantą jednowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa $P$ nazywa się funkcję $F_P:ℝ\to ℝ,$ zdefiniowana wzorem:

$F_P(t)=P((-\mathrm{\infty },t]).$

Dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej $X,$ to dystrybuanta $F_{P_X},$ oznaczana zwykle symbolem $F_X,$ otrzymana z rozkładu tej zmiennej losowej:

$F_X(t)=P_X(\{x:x⩽t\})$

Jeśli rozkład $P$ ma gęstość $f,$ jego dystrubuanta $F_P$ wyraża się wzorem:

$F_P(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}f(x)dx.$

Dystrybuanta w pełni wyznacza rozkład, tzn. dwie zmienne o tej samej dystrybuancie muszą mieć ten sam rozkład; obrazuje to poniższy przykład.

Przykłady

1) Niech ${\mathrm{\Omega }}_1=\{\mathrm{O},\mathrm{R}\}$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych doświadczenia polegającego na rzucie monetą, które może z jednakowym prawdopodobieństwem dać dwa wyniki: orła i reszkę, tj.

$P(\mathrm{O})=\frac{1}{2}$ oraz $P(\mathrm{R})=\frac{1}{2}.$

Jeżeli zmienna $X:{\mathrm{\Omega }}_1\to ℝ$ jest określona równościami

$X(\mathrm{O})=-1$ oraz $X(\mathrm{R})=1,$

to jej rozkład $P_X$ jest określony następująco:

$P(X\in A)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{dla }A=ℝ\setminus \{-1,1\},\\ \frac{1}{2},& \text{dla }A=\{-1\}\text{ lub }A=\{1\},\\ 1,& \text{dla }A=\{-1,1\},\end{array}$

a funkcja masy prawdopodobieństwa ma postać:

$P(X=x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{dla }x\ne -1\text{ i }x\ne 1,\\ \frac{1}{2},& \text{dla }x=-1\text{ lub }x=1.\end{array}$

Oznacza to, że zmienna losowa $X$ odwzorowuje zdarzenia

${\mathrm{\Omega }}_1\ni \mathrm{O}\mapsto -1\in ℝ⟺X(\mathrm{O})=-1,$

${\mathrm{\Omega }}_1\ni \mathrm{R}\mapsto 1\in ℝ⟺X(\mathrm{R})=1$

oraz zachowuje prawdopodobieństwo określone na $({\mathrm{\Omega }}_1,ℱ)$ przekształcając je w rozkład określony na $(ℝ,ℬ(ℝ)).$

Z definicji dystrybuanty wynika, iż prawdopodobieństwo zdarzenia

$A=\{\omega \in \mathrm{\Omega }:a<X(\omega )⩽b\}\stackrel{\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{n}}{=}\{a<X⩽b\}$

dane jest wzorem

$P(X\in A)=P(a<X⩽b)=F_X(b)-F_X(a).$

Dystrybuanta zmiennej $X$ to funkcja $F_X:ℝ\to [0,1]$ określona wzorem

$F_X(t)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{dla }t⩽-1,\\ \frac{1}{2},& \text{dla }-1<t⩽1,\\ 1,& \text{dla }t>1.\end{array}$

2) Niech ${\mathrm{\Omega }}_2=\{\mathrm{O},\mathrm{R},\mathrm{K}\}$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych rzutu monetą, wyżej opisanego, przy czym dodatkowo uwzględnimy upadek na kant, który prawie na pewno się nie zdarzy. Jeżeli

$P(\mathrm{O})=P(\mathrm{R})=\frac{1}{2}$ oraz $P(\mathrm{K})=0,$

to zmienna losowa $Y:{\mathrm{\Omega }}_2\to ℝ$ określona równościami

$Y(\mathrm{O})=-1,Y(\mathrm{R})=1$ oraz $Y(\mathrm{K})=7,$

ma taki sam rozkład $P_Y$ (oraz funkcję masy) co zmienna $X$ określona wyżej, mimo iż są one różne.

Także dystrybuanta $F_Y$ zmiennej $Y$ dana jest tym samym wzorem co dystrybuanta $F_X$ zmiennej $X.$

Dystrybuanta rozkładu wielowymiarowego

Szablon:Osobny artykuł Jeśli $X$ jest wektorem losowym, tzn. $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n,$ to rozważa się wówczas przedziały wielowymiarowe, tzn. zbiory będące iloczynami kartezjańskimi przedziałów, mające postać

$(-\mathrm{\infty },t_1]\times (-\mathrm{\infty },t_2]\times \dots \times (-\mathrm{\infty },t_n].$

Dystrybuanta $F_P:{ℝ}^n\to ℝ$ ma postać

$F_P(t_1,t_2,\dots ,t_n)=P((-\mathrm{\infty },t_1]\times (-\mathrm{\infty },t_2]\times \dots \times (-\mathrm{\infty },t_n]).$

Stosuje się następujący zapis dystrybuanty rozkładu zmiennej losowej:

$F_X(t_1,t_2,\dots ,t_n)=P(\{X:X_1⩽t_1\wedge X_2⩽t_2\wedge \dots \wedge X_n⩽t_n\}),$

gdzie $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n).$

Oznaczając $t=(t_1,t_2,\dots ,t_n)$ powyższy wzór można zapisać w skrócie

$F_X(t)=P(X⩽t).$

Jeśli rozkład wielowymiarowy $P$ ma gęstość $f,$ jego dystrybuanta $F_P$ wyraża się za pomocą całki Lebesgue’a:

$F_P(t)=\underset{(-\mathrm{\infty },t_1]\times (-\mathrm{\infty },t_2]\times \dots \times (-\mathrm{\infty },t_n]}{\int }f(t)dt,$

co można zapisać w prostszej wersji (ale tylko wtedy, gdy całkę Lebesgue’a da się rozbić w poniższy sposób):

$F_P(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t_1}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t_2}{\int }}\dots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t_n}{\int }}f(t_1,t_2,\dots ,t_n)d{t}_n\dots d{t}_{2}d{t}_1.$

Rozkład osobliwy

Df. Zmienna losowa $X$ ma rozkład osobliwy (singularny), jeśli ma ciągłą dystrybuantę oraz istnieje zbiór $A\subseteq ℝ,$ taki że ma on zerową miarę Lebesgue’a $\lambda (A)$ i jednostkowy rozkład prawdopodobieństwa $P(A),$ tzn.

$\lambda (A)=0$ oraz $P(A)=1.$

Rozkład arytmetyczny

Df. Rozkładami arytmetycznymi nazywa się rozkłady skoncentrowane na zbiorze punktów postaci $kc,$ gdzie $k\in \mathbb{Z}.$

Tw. To, iż rozkład $P$ jest skupiony na zbiorze $\{\frac{2\pi k}{t}:k\in \mathbb{Z}\}$ jest równoważne temu, iż jego funkcja charakterystyczna $\phi$ ma okres równy $t$ bądź $\phi (t)=1$ dla pewnego $t\ne 0.$

Analizując funkcje charakterystyczne można stwierdzić, że arytmetyczne są rozkłady:

geometryczny, Bernoulliego i Poissona.

Rozkłady jedno- i dwupunktowe są przesuniętymi rozkładami arytmetycznymi.

Popularne rozkłady

Rozkłady ciągłe

Wybrane rozkłady gęstości prawdopodobieństwa:
$f_N(x)$ – rozkład normalny,
$f_E(x)$ – rozkład wykładniczy,
$f_R(x)$ – rozkład jednostajny,
$f_T(x)$ – rozkład trójkątny,
$f_D(x)$ – rozkład delty Diraca dla zmiennej pewnej.

• rozkład beta,
• rozkład χ²,
• rozkład Cauchy’ego,
• rozkład chi,
• rozkład Erlanga,
• rozkład F Snedecora,
• rozkład gamma,
• Rozkład Fishera-Tippetta,
• rozkład Weibulla,
• rozkład jednostajny ciągły (prostokątny),
• rozkład Laplace’a,
• rozkład Leviego,
• rozkład logarytmicznie normalny,
• rozkład normalny (Gaussa),
• wielowymiarowy rozkład normalny,
• rozkład trójkątny,
• rozkład Studenta,
• rozkład wykładniczy.

Rozkłady dyskretne

• rozkład Boltzmanna,
• rozkład dwupunktowy (Bernoulliego u anglojęzycznych autorów),
• rozkład dwumianowy (Bernoulliego u większości polskich autorów),
• rozkład jednopunktowy (typu delta Diraca),
• rozkład jednostajny dyskretny,
• rozkład geometryczny,
• rozkład hipergeometryczny,
• rozkład Poissona,
• rozkład zero-jedynkowy,
• rozkład ujemny dwumianowy (Pascala).

Pozostałe

• wspólny rozkład prawdopodobieństwa

Statystyka

Jeśli mamy na myśli rzeczywiste prawdopodobieństwa wystąpienia danej wartości cechy w populacji, to mówimy o rozkładzie w populacji. Jeśli mamy na myśli prawdopodobieństwa wystąpienia danej cechy wyznaczone podczas badania statystycznego, to mówimy o rozkładzie empirycznym.

Zobacz też

• rozkład brzegowy
• rozkład warunkowy
• skośność rozkładu
• zbieżność według rozkładu

Przypisy

it:Variabile casuale#Distribuzione di probabilità