Rozkład beta

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa zadana za pomocą funkcji gęstości

$f(\alpha ,\beta ,x)=c_{\alpha ,\beta }\cdot x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1},$

gdzie:

$x$ – zmienna, $x\in [0,1];$ $\alpha ,\beta >0$ – parametry rozkładu, tzw. parametry kształtu,

$c_{\alpha ,\beta }$ – stała zależna od $\alpha$ i $\beta ,$ normująca rozkład do 1, tj.

$c_{\alpha ,\beta }=\frac{1}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\alpha -1}(1-u{)}^{\beta -1}du}$$=\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$$=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )},$

gdzie:

$\mathrm{B}$ – funkcja beta,

$\mathrm{\Gamma }$ – funkcja gamma.

Gdy $\alpha =\beta =1,$ to rozkład beta przyjmuje postać rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

$𝔼(X^k)=\frac{\alpha (\alpha +1)\dots (\alpha +k-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\dots (\alpha +\beta +k-1)}.$

Właściwości

Miary tendencji centralnej

Średnia

Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów $\alpha$ i $\beta$:

$\begin{array}{cc}\mu =\mathrm{E}[X]& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf(x;\alpha ,\beta )dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}dx\\ & =\frac{\alpha }{\alpha +\beta }\\ & =\frac{1}{1+\frac{\beta }{\alpha }}.\end{array}$

Jeśli oba parametry są równe, $\alpha =\beta ,$ rozkład jest symetryczny ze średnią $\mu =\frac{1}{2}.$ Wraz z dążeniem proporcji parametrów $\alpha$ i $\beta$ do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału $[0,1]:$

$\underset{\frac{\beta }{\alpha }\to 0}{\lim }\mu =1$

$\underset{\frac{\beta }{\alpha }\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu =0.$

Dominanta

Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja:

$\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}.$

Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, $\alpha ,\beta <0,$ wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.

Miary rozproszenia

Wariancja

Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów $\alpha$ i $\beta$:

$\mathrm{var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}.$

Wraz z dążeniem parametrów do zera, $\alpha =\beta =0,$ rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji $\mathrm{var}(X)=\frac{1}{4}.$ Przy $\alpha =\beta =1,$ rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej $\mathrm{var}(X)=\frac{1}{12}.$ Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

Szablon:Cytuj książkę