Funkcja Β

Wykres funkcji beta uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Funkcja Β (czytaj: funkcja beta) zwana też całką Eulera pierwszego rodzaju – funkcja specjalna określona dla liczb zespolonych $x,y,$ takich że ich części rzeczywiste są dodatnie, dana wzorem:

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt,\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}Re(x),Re(y)>0.$

Funkcję Beta można również przedstawić w inny sposób:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)},$

gdzie $\mathrm{\Gamma }$ – funkcja gamma.

Wynika stąd, że funkcja beta jest symetryczna, tj.

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x).$

Postacie funkcji beta dla liczb rzeczywistych dodatnich

$\begin{array}{cccc}\mathrm{B}(x,y)& =2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}d\theta ,& & \mathrm{Re}(x)>0,\mathrm{Re}(y)>0,\\ \mathrm{B}(x,y)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,& & \mathrm{Re}(x)>0,\mathrm{Re}(y)>0,\\ \mathrm{B}(x,y)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n},\\ \mathrm{B}(x,y)& =\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1},\\ \mathrm{B}(x,y)& =\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(y{)}_{n+1}}{n!(x+n)}& & \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{i}\mathrm{e}(x{)}_n=x(x-1)(x-2)\dots (x-n+1).\end{array}$

Gdy $x\in \mathbb{N}$ i $y\in \mathbb{N}$:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}.$

Tożsamości

Funkcja Beta spełnia wiele ciekawych tożsamości, m.in. są to:

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y+1)+\mathrm{B}(x+1,y),$

$\mathrm{B}(x+1,y)=\mathrm{B}(x,y)\cdot \frac{x}{x+y},$

$\mathrm{B}(x,y)\cdot (t\mapsto t_{+}^{x+y-1})=(t\to t_{+}^{x-1})*(t\to t_{+}^{y-1})\mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{i}\mathrm{e}x⩾1,y⩾1,$

$\mathrm{B}(x,y)\cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)}.$

Niekompletna funkcja beta

Niekompletna funkcja beta to uogólnienie funkcji beta zdefiniowane następująco:

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt.$

Regularyzowana niekompletna funkcja beta jest zdefiniowana jako iloraz niekompletnej funkcji beta i (kompletnej) funkcji beta:

$I_x(a,b)=\frac{\mathrm{B}(x;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}.$

Regularyzowana niekompletna funkcja beta jest dystrybuantą rozkładu beta.

Zobacz też

• funkcja Γ
• rozkład beta
• teoria strun bozonowych

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld