Rozkład logarytmicznie normalny

Rozkład logarytmicznie normalny (albo logarytmiczno-normalny, log-normalny) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa dodatniej zmiennej losowej, której logarytm ma rozkład normalny.

Z uwagi na to, że wiele zmiennych naturalnie pojawiających się zastosowaniach jest nieujemnych (rozmiar organizmu, wielkość opadów deszczu w meteorologii, przychód w ekonomii), rozkład logarytmicznie normalny znajduje zastosowanie w statystyce. Andriej Kołmogorow wyznaczył rozkład logarytmicznie normalny jako granicę procesu podziału cząsteczki na dwie kolejne o losowych wielkościach

Definicja

Niech $X$ będzie zmienną losową przyjmująca wartości dodatnie. Zmienna ta ma rozkład logarytmicznie normalny z parametrami $\mu$ i ${\sigma }^2,$ gdy zmienna losowa $Y=\ln X$ ma rozkład normalny z parametrami $\mu$ i ${\sigma }^2.$ Symbolicznie:

$X\sim \mathrm{\Lambda }(\mu ,{\sigma }^2).$

Funkcja gęstości zmiennej o rozkładzie $\mathrm{\Lambda }(\mu ,{\sigma }^2)$ wyraża się wzoremSzablon:Odn

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x}\exp (-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array}$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę