Rozkład brzegowy

Rozkład brzegowy – pojęcie z teorii prawdopodobieństwa i statystyki opisujące rozkład prawdopodobieństwa jednej lub kilku zmiennych losowych (podzbioru zmiennych losowych) w przypadku, gdy mamy do czynienia z wielowymiarowym łącznym rozkładem prawdopodobieństwa. Innymi słowy, jest to rozkład jednej lub kilku zmiennych losowej uzyskany przez „pominięcie” innych zmiennych w analizie.

Przykłady

Rozkład brzegowy pojedynczej zmiennej uzyskuje się przez zsumowanie (dla zmiennych dyskretnych) lub scałkowanie (dla zmiennych ciągłych) rozkładu łącznego względem pozostałych zmiennych.

Jeśli mamy dwie ciągłe zmienne losowe X i Y, których łączny rozkład opisuje funkcja gęstości $f_{XY}(x,y)$, to rozkład brzegowy X można obliczyć przez scałkowanie Y z łącznego rozkładu:

$f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{XY}(x,y)dy$.

Analogicznie, rozkład brzegowy Y to

$f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{XY}(x,y)dx$

W przypadku dwóch dyskretnych zmiennych losowych A i B o łącznej funkcji masy prawdopodobieństwa $P_{AB}$ rozkłady brzegowe to:

$P_A(a_i)=\sum _j{P}_{AB}(A=a_i,B=b_j)$

$P_B(b_j)=\sum _i{P}_{AB}(A=a_i,B=b_j)$

Rozkład brzegowy zbiorowości

W przypadku zbiorowości (danych empirycznych) przy wyznaczaniu rozkładu brzegowego bierze się niekiedy pod uwagę liczność zamiast prawdopodobieństwa.

Na przykład weźmy pod uwagę zbiorowość (X, Y), przy czym liczbę jej elementów równych (i, j) oznaczamy n_ij. Wtedy rozkład brzegowy zmiennej X przyjmie postać

$n_i=\sum _j{n}_{ij}.$