Moduł dualny

Szablon:Dopracować Szablon:Spis treści Moduł dualny – moduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych, elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem (por. Przykłady).

Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.

Definicja

Niech $M,N$ będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym $R.$ Zbiór ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(M,N)$ wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych) $M\to N$ sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do $M$ względem $N$. Jeśli $N=R,$ to ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(M,R)$ nazywa się po prostu modułem dualnym do $M,$ bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej $M,$ czyli modułu nad ciałem $R;$ zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem $M^{\star }$.

Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem $R$ (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(X,Y)$ będzie zapisywane po prostu $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,Y).$

Sumy i produkty proste

Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów: $(M\oplus N{)}^{\star }\simeq M^{\star }\oplus N^{\star }$. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli $(M_i)$ jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm ${(⨁M_i)}^{\star }\simeq \prod M_i^{\star }$. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie ${(⨁M_i)}^{\star }\to \prod M_i^{\star }$ będące iniekcją, które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).

Dowolny skończenie generowany moduł wolny $M$ nad $R$ rangi $n>0$ ma postać $M\simeq R^n.$ Moduł $M^{\star }$ dualny do niego również jest tej postaci; jeśli $M$ jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to $M^{\star }$ nie musi być wolny.

Bazy dualne

Niech $M\simeq R^n,$ wtedy też $M^{\star }\simeq R^n$ (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy $({𝖾}_i)$ w $M$ sprawia, że każda forma liniowa $\phi \in M^{\star }$ jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy $M$ odwzorowując $\phi \in M^{\star }$ w element $(\phi ({𝖾}_1),\dots ,\phi ({𝖾}_n))\in R^n$ – jest to zanurzenie $M^{\star }\to R^n,$ które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element $R^n$): jeśli ${\phi }_i(c_1{𝖾}_1+\dots +c_n{𝖾}_n)$ są rzutami względem bazy $({𝖾}_i)$ na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy ${𝖾}_i;$ oznacza to, że $M^{\star }\to R^n$ jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę $M^{\star }.$

Bazą dualną do bazy ${𝖾}_1,\dots ,{𝖾}_n$ modułu $M$ nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami ${𝖾}_1^{\star },\dots ,{𝖾}_n^{\star }$ (wyżej: ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$). Wspomniane formy liniowe $M\to R$ wyznaczone są za pomocą warunków:

${𝖾}_i^{\star }({𝖾}_j)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{dla }i=j,\\ 0& \text{dla }i\ne j,\end{array}$

gdzie ${\delta }_{ij}$ jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.

Dwukrotna dualność

Szablon:Zobacz też W powyższym przypadku izomorfizm między $M^{\star }$ a $M$ zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem $M$ a modułem $M^{\star \star }={\left(M^{\star }\right)}^{\star },$ nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu $M.$

Element $M^{\star \star }$ jest przekształceniem liniowym $M^{\star }\to R.$ Obliczenie wartości dla dowolnego elementu $𝗆\in M$ jest przekształceniem $M^{\star }\to R,$ które jest liniowe,

$(\phi +\psi )(𝗆)=\phi (𝗆)+\psi (𝗆)\text{oraz}(r\phi )(𝗆)=r\phi (𝗆),$

wprost z definicji. Niech ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆}:\phi \mapsto \phi (𝗆)$ będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆}\in M^{\star \star }.$ Przekształcenie $M\to M^{\star \star }$ dane wzorem $𝗆\mapsto {\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆}$ jest addytywne, gdyż

${\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆+{𝗆}^{\prime }}(\phi )=\phi (𝗆+{𝗆}^{\prime })=\phi (𝗆)+\phi ({𝗆}^{\prime })={\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆}(\phi )+{\mathrm{e}\mathrm{v}}_{{𝗆}^{\prime }}(\phi )=({\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆}+{\mathrm{e}\mathrm{v}}_{{𝗆}^{\prime }})(\phi ),$

czyli ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆+{𝗆}^{\prime }}={\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆}+{\mathrm{e}\mathrm{v}}_{{𝗆}^{\prime }}$ (kluczowe jest, iż elementy $M^{\star }$ są addytywne!); podobnie ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_{c𝗆}=c{\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆},$ co oznacza, że odwzorowanie $𝗆\mapsto {\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝗆}$ jest przekształceniem liniowym $M\to M^{\star \star }$ dla dowolnego modułu $M$ – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.

Jeśli $M$ jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne $M\to M^{\star \star }$ jest izomorfizmem, które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą $M^{\star \star }$ dualną do bazy dualnej $({𝖾}_i^{\star })$ modułu dualnego $M^{\star }$ jest baza $({𝖾}_i),$ istotnie:

${\mathrm{e}\mathrm{v}}_{{𝖾}_i}({𝖾}_j^{\star })={𝖾}_j^{\star }({𝖾}_i)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{dla }i=j,\\ 0& \text{dla }i\ne j.\end{array}$

Moduły $M,$ dla których istnieje izomorfizm $M\to M^{\star \star }$ (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.

Przekształcenia dualne

Niech $\mathrm{L}:M\to N$ będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na $M$ w formy liniowe na $N,$ mianowicie: jeśli $\phi \in N^{\star },$ to $\phi \circ \mathrm{L}\in M^{\star }.$ Odwzorowanie ${\mathrm{L}}^{\star }:N^{\star }\to M^{\star }$ dane wzorem

${\mathrm{L}}^{\star }(\phi )=\phi \circ \mathrm{L}$

jest liniowe – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do $\mathrm{L}$.

Przekształcenie $(\cdot {)}^{\star }:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(M,N)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(N^{\star },M^{\star }),$ nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem $\mathrm{L}\mapsto {\mathrm{L}}^{\star }$ również jest liniowe, a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli ${\mathrm{L}}_1:M\to N$ oraz ${\mathrm{L}}_2:N\to P$ są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne $P^{\star }\to M^{\star }$ do złożenia ${\mathrm{L}}_2\circ {\mathrm{L}}_1:M\to P$ dane jest wzorem $({\mathrm{L}}_2\circ {\mathrm{L}}_1{)}^{\star }={\mathrm{L}}_1^{\star }\circ {\mathrm{L}}_2^{\star }$. Wynika stąd, że jeżeli $\mathrm{L}:M\to N$ jest izomorfizmem modułów, to ${\mathrm{L}}^{\star }:N^{\star }\to M^{\star }$ jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto ${\left({\mathrm{L}}^{\star }\right)}^{-1}={\left({\mathrm{L}}^{-1}\right)}^{\star }$.

Jeśli $M,N$ są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie $(\cdot {)}^{\star }$ jest izomorfizmem, a każde przekształcenie liniowe $\mathrm{L}:M\to N$ można utożsamiać z ${\mathrm{L}}^{\star \star }:N^{\star \star }\to M^{\star \star }$ poprzez izomorfizm naturalny. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio $E=({𝖾}_1,\dots ,{𝖾}_m)$ oraz $F=({𝖿}_1,\dots ,{𝖿}_n),$ przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno $E^{\star }=({𝖾}_1^{\star },\dots ,{𝖾}_m^{\star })$ oraz $F^{\star }=({𝖿}_1^{\star },\dots ,{𝖿}_m^{\star }),$ to macierze $𝐋=\mathrm{M}(\mathrm{L}{)}_E^F$ typu $n\times m$ oraz ${𝐋}^{\star }=\mathrm{M}({\mathrm{L}}^{\star }{)}_{F^{\star }}^{E^{\star }}$ typu $m\times n$ reprezentujące $\mathrm{L}$ i ${\mathrm{L}}^{\star }$ w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej.

Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem $R,$ kolejno $(c𝐀+d𝐁{)}^{\mathrm{T}}=c{𝐀}^{\mathrm{T}}+d{𝐁}^{\mathrm{T}},$ $(𝐀𝐁{)}^{\mathrm{T}}={𝐁}^{\mathrm{T}}{𝐀}^{\mathrm{T}},$ $(c𝐈{)}^{\mathrm{T}}=c{𝐈}^{\mathrm{T}}$ oraz $({𝐀}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}=({𝐀}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$ dla dowolnych macierzy $𝐀,𝐁,$ dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.

Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli $\mathrm{L}$ jest „na”, to ${\mathrm{L}}^{\star }$ jest „1-1”. Jeśli $\mathrm{L}$ jest różnowartościowe, to $M$ można postrzegać jako podmoduł $N,$ tzn. $M\simeq \mathrm{L}(M)\subseteq N;$ dla $\phi \in N^{\star }$ przekształcenie ${\mathrm{L}}^{\star }(\phi )=\phi \circ \mathrm{L}$ jest z tego punktu widzenia zawężeniem $\phi$ do podmodułu $\mathrm{L}(M)\subseteq N.$ Fakt, iż odwzorowanie ${\mathrm{L}}^{\star }$ jest „na” oznacza, że każda forma liniowa $\psi :M\to R$ jest postaci $\phi \circ \mathrm{L},$ co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe $\mathrm{L}(M)\to R$ można przedłużyć do przekształcenia liniowego $N\to R,$ a więc $N$ ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu $\mathrm{L}(M)\subseteq N$ przedłużają się do elementów modułu dualnego do $N.$ W ogólności własność ta nie zachodzi; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne – $R$ jest ciałem: niech $M,N$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K,$ wtedy jeśli przekształcenie $\mathrm{L}:M\to N$ jest „1-1”, to ${\mathrm{L}}^{\star }$ jest „na” – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli $\mathrm{L}:M\to N$ dla modułów $M,N$ jest „1-1”, a $\mathrm{L}(M)$ jest składnikiem prostym $N,$ to ${\mathrm{L}}^{\star }$ jest „na”.

Przestrzenie liniowe

Szablon:Zobacz też Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).

Jeśli przestrzeń liniowa $V$ jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż

${\dim }_{K}V<{\dim }_K{V}^{\star }<{\dim }_K{V}^{\star \star },$

co oznacza, że w ogólności $V$ nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną $V^{\star \star }$ (zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne $V\to V^{\star \star }$ jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.

W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe $V$ nad ciałami liczb rzeczywistych $ℝ$ lub zespolonych $ℂ.$ Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną $V^{\prime }$ definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na $V,$ które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna $V^{\prime }$ jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna $V^{\star }$ i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi $V^{\prime }=V^{\star },$ gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na $V.$

Przykłady

Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n$ są rzuty na współrzędne standardowe:

$c_1{𝐞}_1+\dots +c_n{𝐞}_n\mapsto c_i.$

Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor ${ℝ}^n$ daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego $𝐯\in {ℝ}^n$ dana będzie forma ${\phi }_{𝐯}:{ℝ}^n\to ℝ$ wzorem

${\phi }_{𝐯}(𝐰)=𝐯\cdot 𝐰=v_1{w}_1+\dots +v_n{w}_n.$

Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc $𝐯$ będące wektorami bazy standardowej ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n.$ Izomorfizm ${ℝ}^n\simeq {\left({ℝ}^n\right)}^{\star }$ ustala przekształcenie $𝐯\mapsto {\phi }_{𝐯},$ tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem $R^n$ (wystarczy wyżej zamienić „wektor” $𝐮$ na „element” $𝗎$ oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności $R^{\star }=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(R,R)$ jest izomorficzny z $R$ w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe $R\to R$ jest postaci ${\phi }_a(r)=ar$ dla danego $a\in R$.

Niech $R=\mathbb{Z},$ tj. rozważane $R$-moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej $A$ jej $\mathbb{Z}$-dualną do niej jest $A^{\star }=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,\mathbb{Z}).$ Jeśli $A={\mathbb{Z}}^n,$ to $A^{\star }$ można utożsamiać z $A$ za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli $A=\mathbb{Q}$ będzie traktowana jako $\mathbb{Z}$-moduł, to ${\mathbb{Q}}^{\star }=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})$ jest trywialny; traktując z kolei $\mathbb{Q}$ jako przestrzeń $\mathbb{Q}$-liniową otrzymuje się nietrywialną ${\mathbb{Q}}^{\star }=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})$ – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli $A$ jest skończoną grupą abelową, to jej $\mathbb{Z}$-dualna jest zerowa; przykładowo: jeśli $A=\mathbb{Z}\oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}),$ to $A^{\star }\simeq {\mathbb{Z}}^{\star }\oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^{\star }={\mathbb{Z}}^{\star },$ a ponieważ ${\mathbb{Z}}^{\star }\simeq \mathbb{Z}$ z pierwszego przykładu, to $A$ składa się z funkcji $f_k(x,y)=kx$ dla różnych $k\in \mathbb{Z}$ (por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).

Niech $R$ będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków $K,$ a $I$ będzie ideałem w $R.$ Wówczas $I^{\star }=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I,R)$ można interpretować jako $\{c\in K:cI\subseteq R\}$. Jeżeli $R=\mathbb{Z}[X],$ zaś $I=(2,X)$ jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ $2,X$ są w niej względnie pierwsze, to

$I^{\star }=\{f\in \mathbb{Q}(X):fI\subseteq R\}=\{f\in \mathbb{Q}(X):2f\in \mathbb{Z}[X]\text{ i }Xf\in \mathbb{Z}[X]\}=\mathbb{Z}[X],$

tj. jedynymi przekształceniami $\mathbb{Z}[X]$-liniowymi $(2,X)\to \mathbb{Z}[X]$ są mnożenia $h\mapsto gh$ dla $g\in \mathbb{Z}[X].$

Niech $R=ℝ,$ a $M=N=ℂ;$ baza dualna $\{f_1,f_2\}$ przestrzeni liniowej ${ℂ}^{\star }$ do bazy standardowej $\{1,i\}$ przestrzeni $ℝ$-liniowej $ℂ$ jest postaci $\{\mathrm{R}\mathrm{e},\mathrm{I}\mathrm{m}\}$. Niech odwzorowanie $\mathrm{L}:ℂ\to ℂ$ dane będzie wzorem $\mathrm{L}(z)=(2+i)z+\bar{z};$ jest ono $ℝ$-liniowe, przy czym $\mathrm{L}(1)=3+i$ oraz $\mathrm{L}(i)=-1+i.$ W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny) $ℂ$ przekształcenie $\mathrm{L}$ reprezentowane jest za pomocą macierzy $\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right].$ Macierzą ${\mathrm{L}}^{\star }$ w bazie $\{\mathrm{R}\mathrm{e},\mathrm{I}\mathrm{m}\}$ przestrzeni ${ℂ}^{\star }$ jest macierz $\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$ transponowana do macierzy odwzorowania $\mathrm{L}$ (zob. macierz przekształcenia liniowego).

Jeśli $R=ℝ,$ zaś $M=ℝ[X]$ oraz $N={ℝ}^2,$ a ponadto $\mathrm{L}:M\to N$ dane jest wzorem $\mathrm{L}f(X)=f(0),f(1),$ to odwzorowanie $\phi :{ℝ}^2\to ℝ$ dane wzorem $\phi (x,y)=2x+3y$ należy do przestrzeni dualnej do ${ℝ}^2,$ a złożenie $\phi \circ \mathrm{L},$ które przeprowadza $f(X)$ na $2f(0)+3f(1)$ należy do przestrzeni dualnej do $ℝ[X]$ – złożeniem tym jest ${\mathrm{L}}^{\star }(\phi ).$

Niech $K$ będzie ciałem skończonym (np. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ dla liczby pierwszej $p$), a zbiór $V=⨁K$ będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy $K.$ Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór $V^{\star }\simeq \prod (K^{\star })$ jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia $⨁K\hookrightarrow \prod K$ jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku: ${(\prod K)}^{\star }\to \to {(⨁K)}^{\star }=V^{\star };$ w ten sposób ${(\prod K)}^{\star }$ jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ $K^{\star }\simeq K$ jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz $V^{\star \star }\simeq {(\prod K^{\star })}^{\star }\simeq {(\prod K)}^{\star },$ to $V^{\star \star }$ jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne $V\to V^{\star \star }$ (a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.

Zobacz też

• forma dwuliniowa
• para dualna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Szablon:Formy na przestrzeniach liniowych