Przestrzeń Focka

Przestrzeń Focka nad przestrzenią Hilberta $\mathscr{H}$ – przestrzeń Hilberta, która jest sumą prostą przestrzeni utworzonych z danej przestrzeni $\mathscr{H}$ oraz jej iloczynów tensorowych $\mathscr{H}\otimes \mathscr{H},$ $\mathscr{H}\otimes \mathscr{H}\otimes \mathscr{H},$ itd. W zastosowaniu do opisu stanów cząstek kwantowych, ze względu na nieodróżnialność cząstek danego typu (elektronów, fotonów, atomów helu itp.) powyższe iloczyny tensorowe muszą być dodatkowo poddane symetryzacji bądź antysymetryzacji (objaśniono to w artykule). Dlatego definiuje się trzy typy przestrzeni Focka:

• pełną przestrzeń Focka (dla cząstek odróżnialnych),
• symetryczną (dla bozonów),
• antysymetryczną (dla fermionów).

Wektor przestrzeni Focka prezentuje stan układu kwantowego cząstek danego typu, który w ogólności jest superpozycją stanów kwantowych układów zawierających 0, 1, 2 itd. tych cząstek. Pozwala to na algebraizację opisu zmian stanów kwantowych za pomocą operatorów kreacji i anihilacji.

W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Focka interpretuje się jako zmienne losowe.

Nazwa przestrzeni pochodzi od rosyjskiego fizyka Władimira A. Focka, który jako pierwszy zdefiniował ją w roku 1932 dla funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue’a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka.

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Niech $u_1,\dots ,u_n\in \mathscr{H}$ oraz $S_n$ oznacza grupę permutacji zbioru $\{1,2,\dots ,n\}.$

Definicja 1.

Iloczynem tensorowym symetrycznym elementów $u_1,\dots ,u_n$ nazywamy element przestrzeni tensorowej ${\mathscr{H}}^{\otimes n}=\mathscr{H}\otimes \dots \otimes \mathscr{H},$ taki że

$u_1\vee u_2\vee \dots \vee u_n:=\frac{1}{n!}\sum _{\sigma \in S_n}{u}_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes u_{\sigma (n)}$

Definicja 2.

Iloczynem tensorowym antysymetrycznym elementów $u_1,\dots ,u_n$ nazywamy element przestrzeni tensorowej ${\mathscr{H}}^{\otimes n}=\mathscr{H}\otimes \dots \otimes \mathscr{H},$ taki że

$u_1\wedge u_2\wedge \dots \wedge u_n:=\frac{1}{n!}\sum _{\sigma \in S_n}{ϵ}_{\sigma }{u}_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes u_{\sigma (n)},$

gdzie ${ϵ}_{\sigma }$ – znak permutacji $\sigma$ (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Definicja 3.

n-tym symetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni $\mathscr{H}$ nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej zawartej w przestrzeni ${\mathscr{H}}^{\otimes n},$ generowanej przez wektory $u_1\vee \dots \vee u_n,$ gdzie $u_1,\dots ,u_n$ przebiegają całą przestrzeń $\mathscr{H}.$

Definicja 4.

n-tym antysymetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni $\mathscr{H}$ nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni ${\mathscr{H}}^{\otimes n},$ generowanej przez wektory $u_1\wedge \dots \wedge u_n,$ gdzie $u_1,\dots ,u_n$ przebiegają całą przestrzeń $\mathscr{H}.$

Oznaczenia:

${\mathscr{H}}^{\vee n}$ – n-ty symetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni $\mathscr{H}.$

${\mathscr{H}}^{\wedge n}$ – n-ty antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni $\mathscr{H}.$

Iloczyny tensorowe symetryczny ${\mathscr{H}}^{\vee n}$ oraz antysymetryczny ${\mathscr{H}}^{\wedge n}$ tworzą więc podprzestrzenie pełnego iloczynu tensorowego ${\mathscr{H}}^{\otimes n}$ przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta układu n cząstek. Symetryzacja/antysymetryzacja

Konstrukcja przestrzeni Focka przebiega następująco:

(1) Konstruuje się przestrzenie Hilberta n-cząstkowe ${\mathscr{H}}^{\otimes n},$ tzn.

A. Jeżeli $\mathscr{H}$ jest przestrzenią Hilberta wszystkich możliwych stanów pojedynczej cząstki (np. 1 elektronu, 1 fotonu, 1 atomu helu itp.), to

A. iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

${\mathscr{H}}^{\otimes 2}\equiv \mathscr{H}\otimes \mathscr{H}$

zawiera stany układu składającego się z dwóch cząstek tego samego typu (tj. np. 2 elektronów, 2 fotonów, 2 atomów helu itp.).

B. Analogicznie przestrzeń

${\mathscr{H}}^{\otimes n}=\underset{n\mathrm{-}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{y}}{\underbrace{\mathscr{H}\otimes \dots \otimes \mathscr{H}}}$

zawiera stany układu $n$ cząstek tego samego typu.

C. W przypadku układów kwantowych przestrzenie ${\mathscr{H}}^{\otimes n},n=2,3,\dots$ są za duże, bo zawierają stany, z których tylko niektóre są stanami układów kwantowych. Mianowicie: cząstki kwantowe są nieodróżnialne i dlatego ich stany kwantowe są stanami symetrycznymi (w przypadku bozonów, np. fotonów) lub antysymetrycznymi (w przypadku fermionów, np. elektronów). Dlatego tworząc przestrzenie Hilberta dla $n=1,2,\dots$ cząstek kwantowych trzeba dodatkowo zredukować powyższe iloczyny tensorowe ${\mathscr{H}}^{\otimes n}$ poprzez utworzenie symetrycznych bądź antysymetryzacji iloczynów tensorowych. Opisano to w poprzednim rozdziale.

Definicja przestrzeni Focka: pełnej, symetrycznej i antysymetrycznej

Przestrzenią Focka pełną/symetryczną/antysymetryczną nazywa się sumę prostą iloczynów tensorowych przestrzeni Hilberta $\mathscr{H}$ zwyczajnego/symetrycznego/antysymetrycznego, czyli

• pełną przestrzenią Focka (inne nazwy: wolna przestrzeń Focka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad $\mathscr{H}$ jest przestrzeń

$\mathrm{\Phi }(\mathscr{H}):=\underset{n⩾0}{⨁}{\mathscr{H}}^{\otimes n}=ℂ\oplus \mathscr{H}\oplus (\mathscr{H}\otimes \mathscr{H})\oplus \dots$

Inne oznaczenia: ${\mathrm{\Gamma }}_f,$ bądź ${\mathrm{\Gamma }}_{fr}.$

• symetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Focka) nad $\mathscr{H}$ jest przestrzeń

$\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}):=\underset{n⩾0}{⨁}{\mathscr{H}}^{\vee n}.$

Inne oznaczenia: ${\mathrm{\Gamma }}_s.$

• antysymetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Focka) nad $\mathscr{H}$ jest przestrzeń

$\mathrm{\Psi }(\mathscr{H}):=\underset{n⩾0}{⨁}{\mathscr{H}}^{\wedge n}.$

Inne oznaczenia: ${\mathrm{\Gamma }}_s.$

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków $n$-ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią stanów (wektorów) układu $n$cząstek.

Każdy element $f$ pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Focka jest postaci

$f=(f_0,f_1,\dots ,f_n,\dots ),$

(często dla skrócenia zapisu pisze się $f=\sum _{n⩾0}{f}_n,$ bądź $f=\underset{n⩾0}{⨁}{f}_n$), gdzie $f_n$ jest elementem przestrzeni ${\mathscr{H}}^{\otimes n}$ (odpowiednio, ${\mathscr{H}}^{\vee n},$ ${\mathscr{H}}^{\wedge n}$) oraz

$\Vert f{\Vert }^2=\sum _{n⩾0}\Vert f_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }.$

Wektor

$(1,0,0,\dots )$ (zapisywany często w postaci sumy prostej $1\oplus 0\oplus 0\oplus \dots$)

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem $\mathrm{\Omega },$ bądź $\mathbf{\text{1}}.$

Przestrzeń liniowa ${\mathrm{\Gamma }}_{00}(\mathscr{H})$ generowana przez wektory postaci $u^{\otimes n},$ gdzie $n$ przebiega zbiór liczb naturalnych, a $u$ przestrzeń $\mathscr{H},$ tj.

${\mathrm{\Gamma }}_{00}(\mathscr{H})=\text{Lin}\{u^{\otimes n}:n⩾0,u\in \mathscr{H}\},$

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}).$ Przestrzeń ${\mathrm{\Gamma }}_{00}(\mathscr{H})$ nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Przestrzeń Focka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta

Dla każdego elementu $u$ przestrzeni $\mathscr{H}$ wzór:

$\epsilon (u):=(1,u,\frac{u^{\otimes 2}}{\sqrt{2}},\dots ,\frac{u^{\otimes n}}{\sqrt{n!}},\dots )$

określa element przestrzeni $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H})\subseteq \mathrm{\Phi }(\mathscr{H}),$ nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora $u.$ W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym $\epsilon (0).$

Jeżeli $u$ i $v$ należą do $\mathscr{H},$ to

$⟨\epsilon (u),\epsilon (v)⟩=e^{⟨u,v⟩}.$

Dla dowolnego podzbioru $S$ przestrzeni $\mathscr{H}$ symbol $ℰ(S)$ oznacza podprzestrzeń

$ℰ(S):=\text{Lin}\{\epsilon (u):u\in S\}.$

W szczególności, gdy $S=\mathscr{H}$ można pisać krótko $ℰ(S)=ℰ.$ Zbiór $\{\epsilon (u):u\in \mathscr{H}\}$ jest liniowo niezależny. Co więcej, $ℰ$ jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}).$

Przestrzeń Focka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli ${\mathscr{H}}_1,$ ${\mathscr{H}}_2$ są przestrzeniami Hilberta, to

$\mathrm{\Gamma }({\mathscr{H}}_1\oplus {\mathscr{H}}_2)=\mathrm{\Gamma }({\mathscr{H}}_1)\otimes \mathrm{\Gamma }({\mathscr{H}}_2),$

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H})=e^{\mathscr{H}},$ to powyższy wzór przybiera postać

$e^{{\mathscr{H}}_1\oplus {\mathscr{H}}_2}=e^{{\mathscr{H}}_1}\otimes e^{{\mathscr{H}}_2},$

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Focka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Focka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Baza przestrzeni Focka

Jeżeli $\mathscr{H}$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz $(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

• $\{\mathrm{\Omega },e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_n}|i_j=1,2,\dots ,j=1,2,\dots ,n,n=1,2,\dots \},$
• $\{\mathrm{\Omega },{\left(\frac{n!}{r_1!\dots r_k!}\right)}^{\frac{1}{2}}{e}_{i_1}^{r_1}\vee e_{i_2}^{r_2}\vee \dots \vee e_{i_k}^{r_k}|r_1+\dots +r_k=n,1⩽i_1<i_2<\dots <i_k,k,n=1,2,\dots \},$
• $\{\mathrm{\Omega },(n!{)}^{\frac{1}{2}}{e}_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge \dots \wedge e_{i_n}|1⩽i_1<i_2<\dots <i_n,n=1,2,\dots \},$

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni $\mathrm{\Phi }(\mathscr{H}),$ $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H})$ i $\mathrm{\Psi }(\mathscr{H}).$ Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Focka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Operatory na przestrzeni Focka

Niech $u$ będzie ustalonym elementem przestrzeni $\mathscr{H}.$

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka

Szablon:Osobny artykuł Funkcje

$a_0(u):\{\epsilon (v):v\in \mathscr{H}\}\to \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}),$

$a_0^{†}(u):\{\epsilon (v):v\in \mathscr{H}\}\to \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H})$

dane wzorami

$a_0(u)\epsilon (v)=⟨u,v⟩\epsilon (v),$

$a_0^{†}(u)\epsilon (v)=\frac{d}{dt}{\epsilon (v+tu)|}_{t=0}$

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na $ℰ$ w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór $ℰ$ jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń $ℰ$ jest gęsta w $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}),$ tak więc $a_0(u{)}^{*}$ i $a_0^{†}(u{)}^{*}$ są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

$a_0^{†}(u)\subseteq a_0(u{)}^{*},\overline{a_0^{†}(u)}=a_0(u{)}^{*},\overline{a_0(u)}=a_0^{†}(u{)}^{*}$,

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

$a(u):=a_0^{†}(u{)}^{*}$

oraz

$a^{*}(u):=a_0(u{)}^{*}.$

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór ${\mathrm{\Gamma }}_{00}(\mathscr{H})$ jest ich dziedziną istotną (podobnie jak $ℰ,$ na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

$a(u)v^{\otimes n}=\sqrt{n}⟨u,v⟩v^{\otimes (n-1)}$

oraz

$a^{*}(u)v^{\otimes n}=\sqrt{n+1}{P}^{(n+1)}(u\otimes v^{\otimes n}).$

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni $n$ do $n-1$ cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni $n\text{-}$ do $(n+1)$-cząstkowej.

Maksymalną dziedziną, na jakiej są one zdefiniowane (jako domknięte operatory wzajemnie sprzężone), jest odpowiednio: dla operatora anihilacji

$D(a(u)):=\{f\in \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}):\sum _{n⩾0}\Vert a(u)f_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }\},$

oraz dla operatora kreacji

$D(a^{*}(u)):=\{f\in \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}):\sum _{n⩾0}\Vert a^{*}(u)f_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }\}.$

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

$[a(u),a^{*}(v)]=⟨u,v⟩I,$

$\{a(u),a(v)\}=\{a^{*}(u),a^{*}(v)\}=0$

gdzie $[\cdot ,\cdot ]$ oznacza komutator operatorów, a $\{\cdot ,\cdot \}$ ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

$\underset{\Vert h\Vert =1}{\sup }\Vert a(u)h\Vert ⩾\underset{v\in \mathscr{H}}{\sup }\Vert a(u)e^{-\frac{\Vert v{\Vert }^2}{2}}\epsilon (v)\Vert =\underset{v\in \mathscr{H}}{\sup }|⟨u,v⟩|=\mathrm{\infty }.$

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – $a_{⟨u|}^{-}$ i kreacji – $a_{|u⟩}^{+},$ przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do $\mathscr{H}.$

Operator liczby cząstek

Operator liczby cząstek $N$ na $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H})$ określony jest w następujący sposób:

$N:D(N)\subset \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H})\to \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}),Nu=(n{u}_n{)}_{n⩾0},$

gdzie:

$D(N):=\{u\in \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}):\sum _{n⩾0}{n}^2\Vert u_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }\}.$

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}).$ Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek $\sqrt{N}.$

Zbiór ${\mathrm{\Gamma }}_{00}(\mathscr{H})$ jest dziedziną istotną operatora $N,$ tzn. jest domknięciem obcięcia operatora $N$ do zbioru ${\mathrm{\Gamma }}_{00}(\mathscr{H}).$ W szczególności, dla dowolnej funkcji $f:\mathbb{N}\to ℂ,$ operator $f(N)$ jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

$D(f(N)):=\{u\in \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}):\sum _{n⩾0}{n}^2|f(n){|}^2\Vert u_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }\},$

$f(N)u=(f(n)u_n{)}_{n⩾0}.$

Przykłady

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej $n⩾0$ iloczyn tensorowy ${ℂ}^{\otimes n}$ można w naturalny sposób utożsamić z $ℂ,$ skąd

$\mathrm{\Gamma }(ℂ)=\mathrm{\Phi }(ℂ)=ℂ\oplus ℂ\oplus \dots ={\ell }^2.$

Dla każdej liczby zespolonej $z$ wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

$\epsilon (z)=(1,z,\frac{z^2}{\sqrt{2!}},\dots ,\frac{z^n}{\sqrt{n!}},\dots )$

i należy do przestrzeni ${\ell }^2.$

Niech $\mu$ będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni $L^2(\mu )$ rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite’a:

$e^{zx-\frac{1}{2}{z}^2}=\sum _{n⩾0}\frac{z^n}{n!}{H}_n(x),$

gdzie $H_n$ jest wielomianem Hermite’a stopnia $n.$

Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm $U:\mathrm{\Gamma }(ℂ)\to L^2(\mu ),$ że

$[Ue(z)](x)=e^{zx-\frac{1}{2}{z}^2},z\in ℂ.$

Przestrzeń Focka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech $B=\{B(t):t⩾0\}$ będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną $𝔹$ na przestrzeni funkcji ciągłych $C([0,\mathrm{\infty })).$ Dla dowolnej funkcji zespolonej $f,$ będącej elementem przestrzeni $L^2([0,\mathrm{\infty }))$ (z miarą Lebesgue’a), niech

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu $B.$ Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

$U:\mathrm{\Gamma }(L^2([0,\mathrm{\infty })))\to L^2(𝔹),$

który spełnia warunek

$[Ue(f)](B)=\exp (\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}fdB-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t{)}^{2}dt).$

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Focka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę