Proces gaussowski

Proces gaussowski – proces stochastyczny ${\left\{X_t\right\}}_{t\in T},$ którego rozkłady skończenie wymiarowe są gaussowskie. Najbardziej znanymi przykładami procesów gaussowskich są proces Wienera i most Browna.

Definicja

Poniższe definicje procesu gaussowskiego są wymienne. Ich równoważność wynika wprost z własności rozkładu normalnego. Mówimy, że proces ${\left\{X_t\right\}}_{t\in T}$ jest procesem gaussowskim, gdy

• Definicja 1 – dla każdego skończonego zbioru indeksów $t_1,t_2,\dots ,t_n\in T$ zmienna losowa

$(X_{t_1},X_{t_2},\dots ,X_{t_n})$ ma rozkład normalny.

• Definicja 2 – każda liniowa kombinacja $Y=\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_{t_i}$ $(a_i\in ℝ,t_i\in T)$ jest zmienną losową o rozkładzie normalnym.
• Definicja 3 – funkcja charakterystyczna kombinacji liniowych ma postać

$\mathrm{E}(\exp \left(i\sum _{\ell =1}^k{t}_{\ell }{𝐗}_{t_{\ell }}\right))=\exp (-\frac{1}{2}\sum _{\ell ,j}{\sigma }_{\ell j}{t}_{\ell }{t}_j+i\sum _{\ell }{\mu }_{\ell }{t}_{\ell }).$

Proces gaussowski nazywamy scentrowanym, gdy ${\mathrm{\forall }}_{t\in T}\mathrm{E}{X}_t=0$

Własności

Dla procesu gaussowskiego definiujemy funkcję wartości średniej $f(t)=\mathrm{E}{X}_t$ i funkcję kowariancji $c(t_1,t_2)=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_{t_1},X_{t_2}).$ Funkcja kowariancji jest dodatnio określona. Na odwrót para funkcji $f:T\to ℝc:T\times T\to ℝ,$ gdzie $c$ jest dodatnio określona definiuje proces gaussowski. Jest on jedyny z dokładnością do rozkładów skończenie wymiarowych.

Zobacz też

• proces stochastyczny