Kowariancja

Kowariancja, $\mathrm{cov}(X,Y)$ – liczba określająca odchylenie elementów od sytuacji idealnej, w której występuje zależność liniowa. Zależność tę określa się między zmiennymi losowymi $X$ i $Y.$

Definicja

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

$\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}X)\cdot (Y-\mathrm{E}Y)].$

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

$\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{E}(X\cdot Y)-\mathrm{E}X\cdot \mathrm{E}Y,$

gdzie:

$\mathrm{E}$ – wartość oczekiwana.

Interpretacja

Jeżeli między zmiennymi losowymi $X$ i $Y$ nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).

Innymi słowy: zmienne losowe $X$ i $Y$ są niezależne, a więc

$\mathrm{E}(X\cdot Y)=\mathrm{E}X\cdot \mathrm{E}Y,$

zatem:

$\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{E}(X\cdot Y)-\mathrm{E}X\cdot \mathrm{E}Y=\mathrm{E}X\cdot \mathrm{E}Y-\mathrm{E}X\cdot \mathrm{E}Y=0.$

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale $[0,2\pi ],$ a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

$X=\sin Z,$

$Y=\cos Z,$

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy $\mathrm{cov}(X,Y)=0.$

Związek ze współczynnikiem korelacji liniowej

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

$\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{corr}(X,Y){\sigma }_X{\sigma }_Y,$

gdzie:

$\mathrm{corr}(X,Y)$ – współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi $X$ i $Y,$

${\sigma }_X$ – odchylenie standardowe zmiennej $X,$

${\sigma }_Y$ – odchylenie standardowe zmiennej $Y.$

Zobacz też

• korelacja
• kowariancja i kontrawariancja
• macierz kowariancji
• wariancja