Macierz kowariancji

Macierz kowariancji – uogólnienie pojęcia wariancji na przypadek wielowymiarowy. Macierz taka dla wektora losowego $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ ma postać:

$\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& \cdots & {\sigma }_{1n}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_2^2& \cdots & {\sigma }_{2n}\\ ⋮& \cdots & \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{n1}& {\sigma }_{n2}& \cdots & {\sigma }_n^2\end{array}\right]$

gdzie:

${\sigma }_i^2=D^2{X}_i$ – wariancja zmiennej $X_i,$

${\sigma }_{ij}=\mathrm{cov}(X_i,X_j)$ – kowariancja między zmiennymi losowymi $X_i$ i $X_j.$

Własności macierzy kowariancji

• Macierz $\mathrm{\Sigma }$ jest macierzą symetryczną.
• $\det \mathrm{\Sigma }⩾0$ (wyznacznik macierzy kowariancji jest nieujemny).
• Jeżeli $\det \mathrm{\Sigma }=0,$ to wektor jest zdegenerowany.