Wielomiany Hermite’a

Wielomiany Hermite’a – wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego

H_{n + 1} (x) = 2 x H_{n} (x) - 2 n H_{n - 1} (x),

przy warunkach początkowych

H_{0} (x) = 1,

H_{1} (x) = 2 x .

Wielomiany Hermite’a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.

Równoważne definicje

Pierwszy z tych wzorów bywa nazywany wzorem Rodriguesa^[1]:

H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{- x^{2}}

H_{n} (x) = \frac{2^{n}}{\sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} (x + i t)^{n} e^{- t^{2}} d t

H_{n} (x) = \frac{d^{n}}{d t^{n}} e^{- t^{2} + 2 x t} |_{t = 0}

Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite’a jest

G (x, t) = e^{- t^{2} + 2 t x} = \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} .

Innymi słowami – jeśli rozwiniemy

e^{- t^{2} + 2 t x}

w szereg Maclaurina względem zmiennej $t,$ współczynnikiem przy $\frac{t^{n}}{n!}$ będzie $H_{n} (x) .$

H_{0} = 1

H_{1} = 2 x

H_{2} = 4 x^{2} - 2

H_{3} = 8 x^{3} - 12 x

H_{4} = 16 x^{4} - 48 x^{2} + 12

H_{5} = 32 x^{5} - 160 x^{3} + 120 x

H_{6} = 64 x^{6} - 480 x^{4} + 720 x^{2} - 120

H_{7} = 128 x^{7} - 1344 x^{5} + 3360 x^{3} - 1680 x .

czyli dla $n$ parzystego $H_{n} (x)$ jest funkcją parzystą, a dla $n$ nieparzystego – funkcją nieparzystą.

$\int_{- \infty}^{\infty} H_{n} (x) H_{m} (x) e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π} 2^{n} n! δ_{n m},$

czyli wielomiany Hermite’a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową $e^{- x^{2}} .$