Przykłady przestrzeni liniowych

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. $K$ będzie oznaczać dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste $ℝ$ lub liczby zespolone $ℂ.$ Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny: $\{\mathrm{𝟎}\}.$ Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc $\{\mathrm{𝟎}\}$ jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad $K.$ Każda przestrzeń liniowa nad $K$ zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

Ciało

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało $K.$ Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka $K$ służy jako baza, tak więc $K$ jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad $K.$ Dodatkowo $K$ ma tylko dwie podprzestrzenie: $\{\mathrm{𝟎}\}$ oraz samo $K.$

Przestrzeń współrzędnych

Szablon:Osobny artykuł Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n,$ przestrzeń wszystkich ciągów $n$-elementowych o wartościach z $K$ stanowi $n$-wymiarową przestrzeń liniową nad $K$ nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną $K^n.$ Element $K^n$ zapisuje się

$𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n),$

gdzie każdy $x_i\in K.$ Działania na $K^n$ zdefiniowane są wzorami:

$𝐱+𝐲=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n),$

$\alpha 𝐱=(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots ,\alpha x_n),$

$\mathrm{𝟎}=(0,0,\dots ,0),$

$\mathbf{-}𝐱=(-x_1,-x_2,\dots ,-x_n).$

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało $K$ liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych ${ℝ}^n$ lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych ${ℂ}^n.$

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa $K^n$ ma bazę kanoniczną:

${𝐞}_1=(1,0,\dots ,0),$

${𝐞}_2=(0,1,\dots ,0),$

$⋮$

${𝐞}_n=(0,0,\dots ,1),$

gdzie $1$ oznacza element neutralny mnożenia w $K.$

Nieskończona przestrzeń współrzędnych

Niech $K^{\mathrm{\infty }}$ oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z $K$ takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element $K^{\mathrm{\infty }}$ jako

$𝐱=(x_1,x_2,x_3,\dots ),$

to tylko skończenie wiele $x_i$ jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar $K^{\mathrm{\infty }}$ jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów ${𝐞}_i$ zawierających $1$ na $i$-tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej $K.$

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z $K,$ które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną $K^{\mathbb{N}}$ – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią, $K^{\mathbb{N}}$ nie jest izomorficzna z $K^{\mathrm{\infty }};$ w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy $K.$

Warto zauważyć, że $K^{\mathrm{\infty }}$ jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną $K^{\mathrm{\infty }},$ ponieważ przekształcenie liniowe $T$ z $K^{\mathrm{\infty }}$ w $K$ jest jednoznacznie określone przez jego wartości $T({𝐞}_i)$ na elementach bazy $K^{\mathrm{\infty }},$ a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

Iloczyn przestrzeni liniowych

Rozpoczynając od $n$ lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

Macierze

Niech $K^{m\times n}$ oznacza zbiór macierzy z elementami w $K.$ Wówczas $K^{m\times n}$ jest przestrzenią liniową nad $K.$ Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar $K^{m\times n}$ wynosi $mn.$ Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

Przestrzenie liniowe wielomianów

Pojedyncza zmienna

Zbiór wielomianów o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K[x].$ Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar $K[x]$ jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż $n$ otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze $n.$

Jedną z możliwych baz dla $K[x]$ jest złożona z wielomianów $1,x,x^2,x^3,\dots :$ współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z $K[x]$ w nieskończoną przestrzeń współrzędnych $K^{\mathrm{\infty }}.$

Wiele zmiennych

Szablon:Osobny artykuł Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K[x_1,x_2,\dots ,x_r],$ gdzie $r$ oznacza liczbę współrzędnych.

Przestrzenie liniowe ciągów

Jak wspomniano wyżej, przestrzeń liniową (nad danym ciałem) tworzą wszystkie ciągi, które od pewnego momentu są zerowe (stałe). Tę przestrzeń można ugoólniać na ciągi:

• sumowalne (suma ich wyrazów jest skończona), oznaczane przez $s$Szablon:Fakt. Przykładem ciągu, który ma nieskończenie wiele wyrazów niezerowych, ale jest sumowalny, jest $a_n:=\frac{1}{n^2}$ – ciąg odwrotności kwadratów kolejnych liczb naturalnych. Innym znanym przykładem ciągu sumowalnego jest ciąg geometryczny $a_n:=a_0{q}^n$ dla ilorazów mniejszych od jedności ($q<1$). Jego sumą jest szereg geometryczny.
• sumowalne z kwadratem (${\ell }^2$). Przykładem ciągu, który nie jest sumowalny, ale jest sumowalny z kwadratem, jest ciąg harmoniczny odwrotności kolejnych liczb naturalnych: $a_n:=\frac{1}{n}.$ Jego suma (szereg harmoniczny) jest nieskończona.
• sumowalne z modułem i dowolną potęgą (Przestrzeń Lp),
• zbieżne do zera, oznaczane przez $c_0$Szablon:Fakt,
• zbieżne, oznaczane przez $c$Szablon:Fakt,
• ograniczone, oznaczane przez ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$Szablon:Fakt.

Oprócz tego w przestrzeni $s$ ciągów sumowalnych można wyróżnić podprzestrzeń $s_0$ ciągów z sumą równą zeroSzablon:Fakt. Przecina się ona z nieskończoną przestrzenią współrzędnych.

Przestrzenie funkcyjne

Szablon:Osobny artykuł Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem, a $V$ dowolną przestrzenią liniową nad $K.$ Przestrzeń wszystkich funkcji z $X$ w $V$ jest przestrzenią liniową nad $K$ z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji $f,g$ i dowolnego skalara $\alpha :$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),$

$(\alpha f)(x)=\alpha f(x),$

gdzie działania po prawej stronie są określone w $V.$ Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z $X$ w $V$ jest zwykle oznaczana $V^X.$

Jeżeli zbiór $X$ jest skończony, a $V$ skończeniewymiarowa, to $V^X$ ma wymiar $|X{|}^{\dim V},$ w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli $X$ jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

Przykładem rzeczywistej przestrzeni funkcyjnej są funkcje schodkoweSzablon:Fakt.

Uogólnione przestrzenie współrzędnych

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z $X$ w $K,$ które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową $K^X.$

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana $(K^X{)}_0$ i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli $X$ jest zbiorem liczb od $1$ do $n,$ to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych $K^n.$ Podobnie jeżeli $X$ jest zbiorem liczb naturalnych $\mathbb{N},$ to przestrzeń ta jest po prostu $K^{\mathrm{\infty }}.$

Baza kanoniczna dla $(K^X{)}_0$ jest zbiorem funkcji $\{{\delta }_x|x\in X\}$ określonych wzorem

${\delta }_x(y)=\{\begin{array}{cc}1,& x=y\\ 0,& x\ne y\end{array}.$

Wymiar $(K^X{)}_0$ jest więc równy mocy zbioru $X.$ W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną $(K^X{)}_0.$

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta $|X|$ egzemplarzy $K$ (czyli jednej dla każdego punktu z $X$):

$(K^X{)}_0=\underset{x\in X}{⨁}K.$

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym $|X|$ egzemplarzy $K,$ który dałby pełną przestrzeń funkcyjną $K^X.$

Przekształcenia liniowe

Szablon:Zobacz też Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech $\mathrm{L}(V,W)$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$ (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad $K$). Wówczas Niech $\mathrm{L}(V,W)$ jest podprzestrzenią $W^V,$ ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że $\mathrm{L}(K^n,K^m)$ może być identyfikowane z przestrzenią macierzy $K^{m\times n}$ w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach $V$ oraz $W$ przestrzeń $\mathrm{L}(V,W)$ może być także identyfikowana z $K^{m\times n}.$ Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

Funkcje ciągłe

Szablon:Zobacz też Jeżeli $X$ jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy $[0,1],$ możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z $X$ w $ℝ.$ Jest to podprzestrzeń liniowa ${ℝ}^X,$ ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

Podprzestrzeniami tej przestrzeni są funkcje ciągłe o szczególnych właściwościach analitycznych: funkcje różniczkowalna, gładkie i analityczneSzablon:Fakt.

Równania różniczkowe

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z $ℝ\to ℝ$ składających się z (wystarczająco wiele razy różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią ${ℝ}^{ℝ},$ o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli $(af+bg{)}^{\text{'}}=a{f}^{\text{'}}+b{g}^{\text{'}},$ gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

Rozszerzenia ciała

Przypuśćmy, że $L$ jest podciałem $K$ (por. rozszerzenie ciała). Wówczas $K$ może być uważane za przestrzeń liniową nad $L$ przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z $L$ (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone $ℂ$ tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi $ℝ.$ Podobnie liczby rzeczywiste $ℝ$ tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi $\mathbb{Q}.$

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową nad $K,$ to może być uważana również za przestrzeń liniową nad $L.$ Wymiary są związane wzorem

${\dim }_{L}V={\dim }_{K}V\cdot {\dim }_{L}K.$

Na przykład ${ℂ}^n,$ uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar $2n.$

Skończeniewymiarowe przestrzenie liniowe

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy $K$ jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy $K_q,$ jednoznaczne, skończone ciało o $q$ elementach. $q$ musi być tutaj potęgą liczby pierwszej ($q=p^m,p$ – pierwsza). Wtedy dowolna $n$-wymiarowa przestrzeń liniowa nad $K_q$ będzie mieć $q^n$ elementów. Liczba elementów $V$ również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych $(K_q{)}^n.$

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.