Całka Pettisa

Całka Pettisa a. Gelfanda-Pettisa – rozszerzenie pojęcia całki na funkcje o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych poprzez sprowadzenie do zagadnienia całkowalności złożeń funkcji z ciągłymi funkcjonałami liniowymi na rozważanej przestrzeni. W tym wypadku, zagadnienie całkowalności w sensie Pettisa zależy od trzech czynników: własności przestrzeni z miarą na której określona jest funkcja, własności samej przestrzeni wartości oraz postaci ciągłych funkcjonałów liniowych. Należy mieć na uwadze, że całkowalność w sensie Pettisa jest tylko jednym z możliwych uogólnień całkowalności na funkcje o wartościach wektorowych. Do innych tego rodzaju uogólnień należą m.in. całka Birkhoffa, całka McShane’a, całka Dunforda czy całka Bochnera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematyków I. M. Gelfanda i B.J. Pettisa.

Definicja

Niech $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną z nietrywialną przestrzenią sprzężoną $X^{*}.$ O funkcji $f:\mathrm{\Omega }\to X$ mówi się, że jest całkowalna w sensie Pettisa, gdy dla każdego zbioru $A\in 𝒜$ oraz wszelkich funkcjonałów $x^{*}\in X^{*}$ istnieje taki element $x_A$ przestrzeni $X,$ że

$⟨x^{*},x_A⟩=\underset{A}{\int }⟨x^{*},f(t)⟩\mu (\text{d}t).$

Punkt $x_A,$ we wzorze powyżej, nazywany jest całką Pettisa z funkcji $f$ na zbiorze $A$ względem miary $\mu$ i oznaczany symbolem

$x_A=(P)\underset{A}{\int }f\text{d}\mu .$

Każda funkcja $f$ całkowalna w sensie Pettisa jest również słabo mierzalna, to znaczy dla każdego $x^{*}\in X^{*}$ funkcja

$x^{*}\circ f$

jest mierzalna w ciele skalarów.

W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią Banacha, funkcja

$𝒜\ni A\mapsto (P)\underset{A}{\int }f\text{d}\mu$

jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną, nazywaną całką nieoznaczoną Pettisa z funkcji $f.$

W przypadku funkcji o wartościach w przestrzeniach refleksywnych pojęcia całkowalności w sensie Pettisa i w sensie Dunforda pokrywają się.

Przykłady

Przykład funkcji całkowalnej w sensie Pettisa, której norma nie jest całkowalna.

Niech $X$ będzie przestrzenią Hilberta oraz $\{e_n:n\in \mathbb{N}\}$ będzie ciągiem ortonormalnym punktów tej przestrzeni. Funkcja $f:[0,\mathrm{\infty })\to X$ dana wzorem

$f(t)=\frac{1}{n}{e}_n,t\in [n,n+1),n\in \mathbb{N}$

jest całkowalna w sensie Pettisa względem miary Lebesgue’a natomiast

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert f(t)\Vert dt=\mathrm{\infty }.$

Przykład funkcji niecałkowalnej

Funkcja $f:[0,1]\to c_0,$ dana wzorem

$f(t)={(n\cdot {\mathrm{𝟏}}_{(0,\frac{1}{n}]}(t))}_{n\in \mathbb{N}}$

nie jest całkowalna w sensie Pettisa. Istotnie, niech $x^{*}\in c_0^{*}$ oraz niech $y=(t_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie odpowiadającym mu elementem z przestrzeni ${\ell }^1$ (zob. twierdzenie Riesza dla przestrzeni $c_0$).

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}|x^{*}f(t)|dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_{n}n{\mathrm{𝟏}}_{(0,\frac{1}{n}]}(t)|dt⩽\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|t_n|n{\mathrm{𝟏}}_{(0,\frac{1}{n}]}(t)dt=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|t_n|n\cdot \frac{1}{n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|t_n|<\mathrm{\infty }.$

Gdyby istniała całka $(P)\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dt=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in c_0,$ to

$x_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}_n^{*}f(t)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}n\cdot {\mathrm{𝟏}}_{(0,\frac{1}{n}]}(t)dt=1,n\in \mathbb{N},$

gdzie $x_n^{*}\in c_0^{*}$ przyporządkowuje elementowi przestrzeni $c_0$ jego $n$-ty wyraz.

Pettis Integral Property

Niech $\mu$ będzie miarą skończoną na przestrzeni $\mathrm{\Omega }.$ Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność $\mu$-PIP (Pettis Integral Property), gdy każda funkcja słabo mierzalna i $\mu$-p.w. słabo ograniczona $f:\mathrm{\Omega }\to X$ jest całkowalna w sensie Pettisa względem $\mu .$ W szczególności, używa się zapisu Lebesgue-PIP w przypadku miary Lebesgue’a na odcinku jednostkowym. Mówi się, że przestrzeń Banacha ma własność PIP, gdy ma własność $\mu$-PIP dla każdej miary skończonej $\mu .$

Nie każda przestrzeń Banacha ma własność PIP. Na przykład przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przestrzeni zwartej ${\omega }_1+1=[0,{\omega }_1],$ gdzie ${\omega }_1$ oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową, nie ma własności $\mu$-PIP dla pewnej miary Baire’a na σ-algebrze swoich podzbiorów mających własność Baire’a w sensie słabej topologii. Istnieją przestrzenie $X$ (np. tzw. długa przestrzeń Jamesa) takie, że $X$ i $X^{*}$ mają własność Radona-Nikodýma (RNP), ale one same nie mają własności PIP. Pod założeniem hipotezy continuum (CH) albo negacji CH i aksjomatu Martina długa przestrzeń Jamesa nie ma własności Lebesgue-PIP.

• Jeżeli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP.
• Jeżeli $\nu$ jest miarą, która nie jest ośrodkowa, to przestrzeń $L^{\mathrm{\infty }}(\nu )$ ze słabą topologią nie jest przestrzenią Hewitta. Oznacza to, że istnieje miara $\mu$ o wartościach tylko 0 lub 1 dla której $L^{\mathrm{\infty }}(\nu )$ nie ma własności $\mu$-PIP.

Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa

Niech $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz $X$ będzie przestrzenią Banacha. W przestrzeni $𝒫(\mu ,X)$ wszystkich funkcji (klas równoważności $\mu$-p.w.) całkowalnych w sensie Pettisa $f:\mathrm{\Omega }\to X,$ funkcjonał określony wzorem

$\Vert f\Vert =\sup \{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|x^{*}f(t)|\mu (dt):x^{*}\in X^{*},\Vert x^{*}\Vert ⩽1\}$

jest normą. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeżeli $f\in 𝒫(\mu ,X),$ to

$\Vert (P)\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }fd\mu \Vert ⩽\Vert f\Vert .$

W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to $𝒫(\mu ,X)$ nie jest przestrzenią zupełną (przestrzenią Banacha), jest natomiast przestrzenią beczkowatą (a zatem prawdziwe są w stosunku niej pewne wersje twierdzenia Banacha-Steinhausa i twierdzenia o wykresie domkniętym).

Zobacz też

• całka względem miary wektorowej
• własność Dunforda-Pettisa

Bibliografia

• J.K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. pełny tekst
• J. Diestel, J.J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977
• I. M. Gelfand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
• K. Musial, Topics in the theory of Pettis integral, Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Universita di Trieste, XXIII (1991), 177-262
• K. Musial, Pettis Integral, Handbook of Measure Theory I, North-Holland 2002, 531-586
• M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)