Całka Birkhoffa

Całka Birkhoffa – jedno z możliwych pojęć całki dla funkcji o wartościach w przestrzeniach Banacha, wprowadzone przez Garretta Birkhoffa w roku 1935. Pojęcie całkowalności funkcji w sensie Birkhoffa jest silniejsze od całkowalności sensie Pettisa, ale słabsze od całkowalności w sensie Bochnera.

Konstrukcja

Niech $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną oraz $X$ będzie przestrzenią Banacha.

• Przeliczalną rodzinę $\mathrm{\Gamma }\subseteq 𝒜$ nazywamy partycją przestrzeni $\mathrm{\Omega }$ jeżeli

$\bigcup \mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Omega }.$

• Jeżeli $\mathrm{\Gamma }=\{A_n:n\in \mathbb{N}\}$ jest partycją przestrzeni $\mathrm{\Omega },$ to funkcję $f:\mathrm{\Omega }\to X$ nazywamy sumowalną względem partycji $\mathrm{\Gamma }$ (albo $\mathrm{\Gamma }$-sumowalną) jeżeli dla każdego zbioru $A_n\in \mathrm{\Gamma }$ takiego, że $\mu (A_n)>0$ funkcja $f\upharpoonright A_n$ jest ograniczona oraz zbiór $J(f,\mathrm{\Gamma })$ składa się z szeregów bezwarunkowo zbieżnych, gdzie

$J(f,\mathrm{\Gamma })=\{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(t_n)\mu (A_n):t_n\in A_n\}.$

• Funkcję $f:\mathrm{\Omega }\to X$ nazywamy całkowalną w sensie Birkhoffa jeżeli dla każdego $\epsilon >0$ istnieje partycja $\mathrm{\Gamma }=\{A_n:n\in \mathbb{N}\}$ zbioru $\mathrm{\Omega }$ względem której funkcja $f$ jest sumowalna oraz

$\text{diam}J(f,\mathrm{\Gamma })<\epsilon .$

• Twierdzenie Birkhoffa: Jeżeli $f:\mathrm{\Omega }\to X$ jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to

$|\bigcap \{\text{cl conv}J(f,\mathrm{\Gamma }):f\text{ - }\mathrm{\Gamma }\text{-sumowalna}\}|=1.$

W powyższym wzorze cl oznacza domknięcie zbioru w sensie normy przestrzeni X natomiast conv oznacza otoczkę wypukłą.

Jeżeli $f:\mathrm{\Omega }\to X$ jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to jedyny punkt zbioru

$\bigcap \{\text{cl conv}J(f,\mathrm{\Gamma }):f\text{ - }\mathrm{\Gamma }\text{-sumowalna}\}$

nazywamy całką Birkhoffa z funkcji $f$ względem miary $\mu$ i oznaczamy

$(B)\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }fd\mu .$