Całka Bochnera

Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.

Definicja

Niech $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą, $A\in 𝒜$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią Banacha.

• Funkcję $f:\mathrm{\Omega }\to X$ nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór $f(\mathrm{\Omega })$ jest przeliczalny oraz $f^{-1}(\{x\})\in 𝒜$ dla każdego $x\in X.$
• Funkcję $f:A\to X$ nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych $f_n:A\to X,n\in \mathbb{N},$ że

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(\omega )=f(\omega )$ dla $\mu$-p.w. $\omega \in A,$
2. $\underset{A}{\int }\Vert f_n(\omega )\Vert \mu (d\omega )<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{N},$
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A}{\int }\Vert f_n(\omega )-f(\omega )\Vert \mu (d\omega )=0.$

Jeżeli $f:A\to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt

$\underset{A}{\int }fd\mu \in X$

określony wzorem

$\underset{A}{\int }fd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A}{\int }{f}_{n}d\mu ,$

gdzie $f_n:A\to X,n\in \mathbb{N}$ jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji $f$ względem miary $\mu .$

Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie Bochnera

Niech $f:A\to X.$ Każde z następujących zdań jest równoważne:

• $f$ jest całkowalna w sensie Bochnera.
• $f$ jest $\mu$-mierzalna i spełniony jest warunek 1.
• Istnieje ciąg $f_n:A\to X,n\in \mathbb{N}$ $𝒜$-mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór $𝒜$-mierzalny $N\subseteq A,$ że $\mu (N)=0$ oraz ciąg $f_n{|}_{A\setminus N},n\in \mathbb{N}$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f{|}_{A\setminus N}$ i spełnione są warunki 2. i 3.

Własności

Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli $\mu$ jest miarą skończoną, to funkcja $f:\mathrm{\Omega }\to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\Vert f(\omega )\Vert \mu (d\omega )<\mathrm{\infty }.$

Jeżeli funkcja $f:\mathrm{\Omega }\to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę (now published by springer Verlag)
• Szablon:Springer
• Szablon:Springer