Logarytm

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.

Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb $a,b>0,a\ne 1$ liczba oznaczana ${\log }_{a}b$ będąca rozwiązaniem równania $a^x=b.$ Taka definicja logarytmu została zdefiniowana przez EuleraSzablon:Odn. Liczba $a$ nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba $b$ liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę $a,$ aby otrzymać liczbę logarytmowaną $b$.

Przykłady

${\log }_{2}8=3,$ gdyż $2^3=8,$

${\log }_{10}10000=4,$ gdyż $10^4=10000.$

Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku matematycy brytyjscy: Szkot John Napier i Anglik Henry Briggs. Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Natomiast Euler był pierwszym matematykiem, który przedstawił logarytmy liczb zespolonychSzablon:Odn. Historycznie praca Eulera na ten temat była pierwszą analizą funkcji przestępnej więcej niż jednej zmiennejSzablon:Odn.

Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie $a>0,a\ne 1$ pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną $f_a:{ℝ}_{+}\to ℝ$ następująco:

$f_a:x\mapsto f_a(x)={\log }_{a}x.$

Definicja formalna

schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie $2\cdot 3=6$ na dodawanie $\log 2+\log 3=\log 6$

Logarytm jest działaniem zewnętrznym: $\log :{ℝ}_{+}\setminus \{1\}\times {ℝ}_{+}\to ℝ$ zdefiniowanym równoważnością:

${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$

(zamiast $\log (a,b)$ stosuje się symbolikę ${\log }_{a}b$).

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.

• dla każdych $a,b>0,a\ne 1$ istnieje liczba rzeczywista $c={\log }_{a}b.$

Jest też odwrotnie:

• dla dowolnej liczby $c\in ℝ$ i dowolnej liczby $a>0,a\ne 1$ istnieje dokładnie jedna liczba $b>0$ taka, że $c={\log }_{a}b;$
• dla dowolnej liczby $c\in ℝ$ i dowolnej liczby $b>0$ istnieje dokładnie jedna liczba $a>0,a\ne 1$ taka, że $c={\log }_{a}b.$

Oznacza to, że przy ustalonym $a$ lub ustalonym $b$ działanie $\log$ jest różnowartościową suriekcją na zbiór $ℝ.$

Logarytm binarny

Szablon:Osobny artykuł Logarytm o podstawie równej 2.

Logarytm naturalny

Szablon:Osobny artykuł Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą $e$ równą w przybliżeniu $2,718281828.$ Zwyczajowo zamiast ${\log }_{e}x$ pisze się $\ln x.$ Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej $\exp ,$ dla której $\exp (1)=e,$ postaci

$\exp (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!},$

wtedy jej pochodna (również formalna) $(\exp x{)}^{\prime }=\exp x,$ co oznacza, że $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ zamiast $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a},$ ponieważ $\ln e=1.$ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego $e$ jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny

Szablon:Osobny artykuł Zapis bez indeksu $\log x$ albo $\lg x$ oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

$\log x=\lg x={\log }_{10}x.$

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności $\log (x)$ oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby $x>1\wedge x\mathrm{\neg }1*10^n,n\in \mathbb{N}$ jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym $x,$ np.

$\log 5083495,424=6,7061624.$

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

$\log 1=0,\log 10=1,\log 100=2,\dots$

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie $b,$ należy użyć logarytmu o podstawie $b.$

Własności

Znaki liczby ${\log }_{a}b$ w zależności od wartości $a,b:$

	$0<b<1$	$b=1$	$1<b$
$0<a<1$	$+$	$0$	$-$
$1<a$	$-$	$0$	$+$

Wprost z definicji logarytmu wynika:

$a^{{\log }_{a}b}=b,{\log }_a{a}^b=b,{\log }_{a}1=0,{\log }_{a}a=1.$

Z własności potęgi wynikają następujące równości:

Szablon:Wzór

${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$

Szablon:Wzór

${\log }_a\sqrt[n]{b^c}=\frac{c}{n}{\log }_{a}b$

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana wzorem na zmianę podstawy logarytmu:

${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$ albo ${\log }_{b}a\cdot {\log }_{a}x={\log }_{b}x,$

stąd przyjmując $x=b$

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ albo ${\log }_{b}a\cdot {\log }_{a}b=1$ w szczególności $\log e\cdot \ln 10=1.$

Z powyższych własności można wykazać m.in. równości

${\log }_{a^n}{b}^m=\frac{m}{n}{\log }_{a}b,a^{{\log }_{c}b}=b^{{\log }_{c}a},{\log }_{a}c\cdot {\log }_{b}d={\log }_{a}d\cdot {\log }_{b}c,x^y=a^{y{\log }_{a}x}$

Dowody niektórych własności

Wzór Szablon:LinkWzór: Niech $\beta ={\log }_{a}b,\gamma ={\log }_{a}c.$ Stąd, zgodnie z definicją, $a^{\beta }=b,a^{\gamma }=c.$ Mnożąc stronami obie równości $a^{\beta }{a}^{\gamma }=bc.$ Ponieważ $a^{\beta }{a}^{\gamma }=a^{\beta +\gamma },$ więc $a^{\beta +\gamma }=bc.$ Czyli $\beta +\gamma ={\log }_{a}bc.$ Stąd teza.

Wzór Szablon:LinkWzór: Niech $\beta ={\log }_{a}b.$ Stąd, zgodnie z definicją, $a^{\beta }=b.$ Podnosząc obie strony do potęgi ${\left(a^{\beta }\right)}^c=b^c.$ Ponieważ ${\left(a^{\beta }\right)}^c=a^{\beta c},$ więc $a^{\beta c}=b^c.$ Czyli $\beta c={\log }_a{b}^c.$ Stąd teza.

Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.

Logarytm liczby zespolonej

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech $z$ będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

Szablon:Wzór

gdzie:

• $k$ jest dowolną liczbą całkowitą,
• $\ln |z|$ jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby $z$ (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
• $\arg$ to argument liczby zespolonej $z,$
• $\varphi$ to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:

$\ln 1=2k\pi i,$

$\ln (-1)=(2k+1)\pi i,$

$\ln i=\frac{4k+1}{2}\pi i.$

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych $k.$ Przyjmując $k=0$ otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: $\mathrm{Ln}.$ Inni przeciwnie – wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość głównąSzablon:Odn. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:

${\log }_{w}z=\frac{\ln z}{\ln w},$

gdzie:

• $w$ i $z$ są liczbami zespolonymi, $z,w\ne 0,w\ne 1$
• $\ln z$ i $\ln w$ są dane wzorem Szablon:LinkWzór.

Oczywiście zbiór wartości ${\log }_{w}z$ jest podwójnie indeksowany.

Kologarytm

Liczbę przeciwną do logarytmu z $x$ nazywało się niegdyś kologarytmem $x$ i oznaczało $\mathrm{clg}x$ lub $\mathrm{colog}x.$ Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu $-\log x.$ Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny

Szablon:Osobny artykuł Logarytm dyskretny elementu $b$ (przy podstawie $a$) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita $c,$ że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

$a^c=b.$

Przykłady i zastosowania

Matematyka

• Skala logarytmiczna na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. Diagram HR w astronomii.
• Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka.
• Regresja liniowa: jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami.
• Prawo iterowanego logarytmu w probabilistyce,
• Wymiar Hausdorffa fraktali w topologii i teorii miary,
• Asymptotyczne wzrost funkcji pi w teorii liczb,
• W teorii informacji Claude Shannon wyraził entropię informacji przez logarytmy odpowiednich prawdopodobieństw.
• Algorytmika: wiele procedur ma złożoność logarytmiczną (np. wyszukiwanie binarne) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów sortowania,
• Opis spirali logarytmicznej występującej w naturze,

Inne dziedziny

• Skala pH w chemii,
• skala Richtera w sejsmologii,
• Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku,
• Wysokość dźwięku jest logarytmiczną funkcją jego częstotliwości,
• Prawo Webera-Fechnera w psychologii i fizjologii percepcji,
• Prawo Fittsa w ergonomii,
• Jasność absolutna w astronomii,
• Logarytmiczny dekrement tłumienia w fizyce, np. w akustyce oraz w elektrotechnice,
• W fizyce statystycznej Ludwig Boltzmann wyraził entropię przez logarytm objętości w przestrzeni fazowej. Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii Clausiusa,
• Rozkład Benforda w statystyce i ekonomii,
• Wzór Ciołkowskiego opisujący ruch rakiety.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Otwarty dostęp Logarithm of a number Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
• Szablon:Otwarty dostęp Steve Kelly, Logarithms, Explained Szablon:Lang, kanał TED-Ed na YouTube, 20 sierpnia 2012 [dostęp 2024-08-22].