Funkcja logarytmiczna

Wykresy logarytmów o różnych podstawach:
jasnoniebieski ma podstawę 1/2,
czerwony ma podstawę 2,
zielony podstawę e,
ciemnoniebieski ma podstawę 10

Funkcja logarytmiczna – każda funkcja matematyczna zdefiniowana logarytmem o ustalonej podstawie – jej argumentem jest liczba logarytmowana. Określa to wzór $f(x)={\log }_{a}x$ dla pewnego ustalonego $a\in (0,1)\cup (1,\mathrm{\infty })$. W szczególności rzeczywista funkcja logarytmiczna jest zdefiniowana na półosi liczb dodatnich: $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$, gdzie ${ℝ}_{+}=(0,\mathrm{\infty }).$

Funkcja logarytmiczna ${\log }_{a}x$ jest odwrotna do funkcji wykładniczej $a^x$, dlatego jej wykres jest osiowo symetryczny względem osi $y=x$ do wykresu danej funkcji wykładniczej. Przez to funkcje logarytmiczne mają asymptoty pionowe i jest nią zawsze oś $Oy$.

Funkcje logarytmiczne są przestępne i zaliczane do funkcji elementarnychSzablon:Fakt. Najczęstsze podstawy funkcji logarytmicznych to liczby 2, 10 i e – odpowiednie funkcje są znane jako logarytm binarny, dziesiętny i naturalny.

Każde dwie funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ${\log }_{b}x,{\log }_{a}x$ są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznymSzablon:Fakt.

Własności

• Dla dowolnych $x,y>0$

${\log }_{a}xy={\log }_{a}x+{\log }_{a}y,$

także

${\log }_{a}1=0.$

• Funkcja logarytmiczna jest ściśle (silnie) monotoniczna w całej dziedzinie:
  • dla $a>1$ jest silnie rosnąca,
  • dla $0<a<1$ jest silnie malejąca.

Stąd jest również różnowartościowa.

• Granice funkcji:
  • dla $a>1:\underset{x\to 0}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }$
  • dla $0<a<1:\underset{x\to 0}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

Stąd jest nieograniczona i jest suriekcją.

• Jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie, jest więc także ciągła:

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}.$

Ponadto funkcja ta nie jest parzysta ani nieparzysta, nieokresowa,

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Logarithmic function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].