Pochodna formalna

Szablon:Dopracować Pochodna formalna – operacja na elementach pierścieni wielomianów lub pierścieni szeregów formalnych naśladująca własności pochodnej funkcji znanej z analizy matematycznej. Pochodna formalna ułatwia badanie pierwiastków wielomianu: są one wielokrotne, jeśli są zarazem pierwiastkami pochodnej wielomianu.

Niech dany będzie pierścień wielomianów $R[x]$ i wielomian

$f=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

do niego należący. Pochodną formalną wielomianu $f$ nazywa się wielomian $f^{\prime }$ dany wzorem

$f^{\prime }=n{a}_n{x}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_1.$

Powyższe sformułowanie przenosi się wprost na szeregi formalne, należy tylko założyć, iż pierścień skalarów jest przemienny.