Operator zwarty

Z testwiki
Wersja z dnia 20:01, 25 maj 2024 autorstwa imported>Piotr Skalski (→Podstawowe fakty: poprawiłem link)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte[1]. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony.

Dla operatora liniowego T:E→F przekształcającego przestrzeń Banacha E w F następujące warunki równoważne i bywają obierane za definicję operatora zwartego przez różnych autorów[1].

  1. domknięcie obrazu T(B) jest zwarte w F dla każdego zbioru ograniczonego B w E (tj. T jest zwarty według wprowadzonej wyżej definicji),
  2. domknięcie obrazu T(B) jest zwarte w F, gdzie B oznacza kulę jednostkową w E,
  3. obraz T(B) jest całkowicie ograniczony w F dla każdego zbioru ograniczonego B w E,
  4. dla każdego ograniczonego ciągu (xn) punktów przestrzeni E ciąg (Txn) zawiera podciąg zbieżnySzablon:Odn.

Podstawowe fakty

Dalej, E, F oznaczają ustalone przestrzenie Banacha.

  • Każdy operator zwarty T:E→F jest ograniczony (z uwagi na całkowitą ograniczoność obrazu kuli jednostkowej dziedziny operatora), a więc ciągły.
  • Z lematu Riesza wynika, że operator identycznościowy na E jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń E jest skończenie wymiarowa.
  • Operator zwarty ma domknięty obraz wtedy i tylko wtedy gdy obraz ten jest skończenie wymiarowySzablon:Odn. Rzeczywiście, każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest domknięta, więc jeżeli operator ma skończenie wymiarowy obraz, to obraz ten jest domknięty. W przeciwną stronę, jeżeli T:E→F jest operatorem zwartym i obraz T(E) jest domknięty, to jest on skończenie wymiarowy. Istotnie, domkniętość obrazu implikuje, że on sam jest przestrzenią Banacha. Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, operator T:E→T(E) jest otwarty. Zakładając, że obraz T(E) jest ponadto nieskończenie wymiarowy, otwartość T prowadzi to do sprzeczności ze zwartością, ponieważ obraz kuli jednostkowej B w E poprzez T nie może być wówczas warunkowo zwarty w T(E) (a więc i także w F).
  • Obraz każdego operatora zwartego T:E→F jest ośrodkowySzablon:OdnSzablon:Odn.
  • Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym: operator liniowy T:E→F jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony T*:F*→E* jest zwarty.
  • Widmo operatora zwartego na zespolonej przestrzeni Banacha jest co najwyżej przeliczalne i jego jedynym punktem skupienia może być 0Szablon:OdnSzablon:Odn. Ponadto dla operatorów zwartych zachodzi alternatywa FredholmaSzablon:Odn.

Opis operatorów zwartych poprzez ciągi zbieżne do zera

Dla danego operatora liniowego T:E→F między przestrzeniami Banacha następujące warunki są równoważne

1. operator T jest zwarty,
2. istnieje taki ciąg (fn) zbieżny do 0 w E*, że dla wszelkich x∈E zachodzi nierówność
‖Tx‖⩽|fn(x)|,
3. istnieje zbieżny do zera ciąg liczb rzeczywistych (cn) oraz taki ograniczony ciąg (fn) w E*, że dla wszelkich x∈E zachodzi nierówność
‖Tx‖⩽|cn⋅fn(x)|,
4. istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa H przestrzeni c0, zwarty operator liniowy S:E→H oraz ograniczony operator liniowy R:H→F, że T=RSSzablon:Odn.

Równoważność warunków 1. i 2. została udowodniona w 1971 przez Terzioğlu[2]. Randke wykazał, że warunki 1. i 3. są równoważne[3].

Własności ideałowe

Dla każdej przestrzeni Banacha E rodzina K(E) złożona ze wszystkich operatorów zwartych na E tworzy domknięty ideał dwustronny algebry Banacha B(E) wszystkich operatorów ograniczonych na ESzablon:OdnSzablon:Odn.

  • Algebra ilorazowa B(E)/K(E) nazywana jest algebrą Calkina przestrzeni E. Twierdzenie Calkina mówi, że jeżeli H jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to K(H) jest jedynym domkniętym nietrywialnym ideałem B(H)[4].
  • Ideał operatorów zwartych jest jedynym ideałem maksymalnym w B(E) w przypadku, gdy E jest przestrzenią c0 bądź E jest przestrzenią ℓp dla 1⩽p<∞. Spiros A. Arjiros i Richard Haydon[5] podali przykład przestrzeni Banacha E z bazą Schaudera o tej własności, że przestrzeń sprzężona E* jest izomorficzna z ℓ1 oraz każdy operator ograniczony T na E jest postaci T=cI+S, gdzie c jest pewnym skalarem, a S jest operatorem zwartym na E. Innymi słowy, ideał operatorów zwartych jest kowymiaru 1 w B(E).

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

  1. ↑ 1,0 1,1 Szablon:Cytuj książkę
  2. ↑ T. Terzioğlu, A characterization of compact linear mappings, Arch. Math. 22 (1971), 76–78.
  3. ↑ D. Randtke, Characterizations of precompact maps, Schwanz spaces and nuclear spaces, Trans. Amer. Math. 165 (1972), 87–101.
  4. ↑ Szablon:Cytuj pismo
  5. ↑ Szablon:Cytuj pismo
Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Operator_zwarty&oldid=4104”