Paradoks Banacha-Tarskiego

Paradoks Banacha-Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową

Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – paradoksalne twierdzenie teorii miary sformułowane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku.

Twierdzenie głosi, że trójwymiarową kulę można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich pięć), a następnie używając wyłącznie przesunięć i obrotów można złożyć z tych części dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.

Paradoksalne jest to, że z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami i zachowują objętość brył.

Źródło paradoksu tkwi w tym, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue’a), tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów.

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych.

Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.

W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania problemu delijskiego:

Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?

Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla zachowując jego kształt sześcianu!

Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Rys historyczny

• 1905: Giuseppe Vitali podaje przykład zbioru niemierzalnego na okręgu jednostkowym, który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu. (Zobacz sekcja poniżej.)
• 1914: polscy matematycy Stefan Mazurkiewicz i Wacław Sierpiński publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny ${ℝ}^2$.
• 1915: Felix Hausdorff publikuje twierdzenie, że po usunięciu przeliczalnie wielu punktów ze sfery jednostkowej można otrzymać zbiór, który jest paradoksalny ze względu na grupę obrotów $S{O}_3$.
• 1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku.
• 1991: wrocławski matematyk Janusz Pawlikowski wykazuje, że zakładając aksjomaty Zermela-Fraenkla i twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego.
• 1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki, które mają własność Baire’a, a więc porządnych z topologicznego punktu widzenia.

Wstępne przykłady

• W zasadzie już Galileusz zauważył, że zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\dots \}$ może być podzielony na dwie części, z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór $\mathbb{N}.$ Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych $P=\{0,2,4,6,\dots \}$ i jego dopełnienie, czyli zbiór liczb nieparzystych $N=\{1,3,5,\dots \}.$ Funkcja $f_P:P\to \mathbb{N}:k\mapsto k/2$ jest bijekcją z $P$ na $\mathbb{N}$ oraz funkcja $f_N:N\to \mathbb{N}:k\mapsto (k-1)/2$ jest bijekcją z $N$ na $\mathbb{N}.$

• Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.

• Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać, jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór $O=\{e^{2\pi ri}:r\in ℝ\}=\{e^{2\pi ri}:r\in [0,1)\}.$ Określmy na tym zbiorze relację równoważności $\cong$ przez warunek

$e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si}$ wtedy i tylko wtedy gdy $r-s$ jest liczbą wymierną.

Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór $M\subseteq O,$ który jest selektorem klas abstrakcji relacji $\cong .$ Zatem zbiór $M$ spełnia następujące dwa warunki:

(a) $(\mathrm{\forall }s,t\in M)(s\ne t\Rightarrow s\cong ̸t)$ oraz

(b) $(\mathrm{\forall }s\in O)(\mathrm{\exists }t\in M)(s\cong t).$

Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale $[0,1)$ jako sumę $\mathbb{Q}\cap [0,1)=A\cup B$ dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów $A,$ $B$ jest równoliczny ze zbiorem $\mathbb{Q}\cap [0,1),$ a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne $f_A:A\to \mathbb{Q}\cap [0,1)$ i $f_B:B\to \mathbb{Q}\cap [0,1).$ Rozważmy zbiory

$M_A=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\wedge q\in A\}$ i $M_B=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\wedge q\in B\}.$

Wówczas $O=M_A\cup M_B,$ $M_A\cap M_B=\mathrm{\varnothing }$ oraz funkcje

${\phi }_A:M_A\to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_A(q)i}\cdot t$ i

${\phi }_B:M_B\to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_B(q)i}\cdot t$

są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).

• Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór $M$ będzie wybrany jak powyżej. Dla $q\in \mathbb{Q}\cap [0,1)$ połóżmy $M^q=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}.$ Wówczas $\{M^q:q\in \mathbb{Q}\cap [0,1)\}$ jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu $O.$ Przypuśćmy, że $A\subseteq \mathbb{Q}\cap [0,1)$ jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję $f_A:A\to \mathbb{Q}\cap [0,1)$ i zauważmy, że

$O=\bigcup _{q\in A}{F}_q[M^q],$ gdzie $F_q:O\to O:e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi (r+f_A(q)-q)i}$ jest obrotem o kąt $(f_A(q)-q)\cdot 2\pi .$

• Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech

$Z=\{a_0+a_1{e}^i+a_2{e}^{2i}+\dots +a_k{e}^{ki}:k\in \mathbb{N}\wedge a_0,\dots ,a_k\in \mathbb{N}\},$

$Z_0=\{a_1{e}^i+a_2{e}^{2i}+\dots +a_k{e}^{ki}:k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\wedge a_1,\dots ,a_k\in \mathbb{N}\},$

$Z_{+}=\{a_0+a_1{e}^i+a_2{e}^{2i}+\dots +a_k{e}^{ki}:k\in \mathbb{N}\wedge a_0,\dots ,a_k\in \mathbb{N}\wedge a_0>0\}.$

Można łatwo sprawdzić, że $Z=Z_0\cup Z_{+},$ $Z_0\cap Z_{+}=\mathrm{\varnothing }$ (przypomnijmy, że $e^i$ jest liczbą przestępną) oraz

$F_0[Z_0]=Z$ gdzie $F_0:z\mapsto e^{-i}\cdot z$ jest obrotem, a

$F_{+}[Z_{+}]=Z$ gdzie $F_{+}:z\mapsto z-1$ jest przesunięciem.

Rozkłady paradoksalne

Definicje

Przypuśćmy, że grupa $G$ działa na zbiorze $X.$

• Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_0,\dots ,B_n,C_0,\dots ,C_m\subseteq A$ (gdzie $n,m\in \mathbb{N}$) oraz elementy $g_0,\dots ,g_n,h_0,\dots ,h_m$ grupy $G,$ takie że

$A=\bigcup _{i=0}^n{g}_i[B_i]$ oraz $A=\bigcup _{j=0}^m{h}_j[C_j].$

Intuicyjnie, $A$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy $G,$ jeśli można podzielić zbiór $A$ na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru $A,$ używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy $G.$

• Zbiór $A\subseteq X$ jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_0,B_1\dots ,C_0,C_1\dots \subseteq A$ oraz elementy $g_0,g_1,\dots ,h_0,h_1\dots$ grupy $G,$ takie że

$A=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_i[B_i]$ oraz $A=\bigcup _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{h}_j[C_j].$

• Niech $A,B\subseteq X.$ Powiemy, że zbiory $A$ i $B$ są kawałkami $G$-równoważne, jeśli można wybrać $A_0,A_1,\dots ,A_n\subseteq A,$ $B_0,B_1,\dots ,B_n\subseteq B,$ $n\in \mathbb{N},$ oraz $g_0,g_1,\dots ,g_n\in G,$ tak że

(a) $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }=B_i\cap B_j$ dla $i<j⩽n,$

(b) $A=\bigcup _{i=0}^n{A}_i,$ $B=\bigcup _{i=0}^n{B}_i$

(c) $g_i(A_i)=B_i$ dla każdego $i⩽n.$

Przykłady

• Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów $S{O}_2$ okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
• Zbiór $Z$ podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.

Zbiory $S(a^{-1})$ i $aS(a^{-1})$ zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej $F_2$

Animacja dowodu twierdzenia Banacha-Tarskiego za pomocą grafu Cayleya opartego na fraktalu

• Rozważmy grupę wolną $F_2$ o dwóch generatorach $a$ i $b$ działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi $g\in F_2$ odpowiada bijekcja $F_2\ni h\mapsto gh\in F_2.$) Dla $x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}$ niech $S(x)$ będzie zbiorem wszystkich elementów grupy $F_2$ (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od $x.$ Zauważmy, że

$F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})$ i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz

$F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)$ i $F_2=bS(b^{-1})\cup S(b).$

Zatem $F_2$ jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy $F_2.$

Twierdzenia

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

• Przypuśćmy, że

(a) grupa $G$ działa na zbiorze $X$ w taki sposób że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in G$),

(b) $G$ jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy $G$ (przez mnożenie z lewej strony).

Wówczas zbiór $X$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy $G.$

• Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna $F_2$ działa na zbiorze $X$ w taki sposób, że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in F_2$), to zbiór $X$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy $F_2.$
• Istnieje przeliczalny podzbiór $D$ sfery jednostkowej $S_2$ taki, że zbiór $S_2\setminus D$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów $S{O}_3.$
• Jeśli $D\subseteq S_2$ jest przeliczalny, to zbiory $S_2$ i $S_2\setminus D$ kawałkami $S{O}_3$-równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

• Sfera jednostkowa $S_2$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów $S{O}_3.$

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech $I_3$ będzie grupą izometrii przestrzeni ${ℝ}^3.$

• Każda kula w ${ℝ}^3$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy $I_3.$ Również sama przestrzeń ${ℝ}^3$ jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
• Jeśli $A,B\subseteq {ℝ}^3$ są zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory $A,$ $B$ są kawałkami $I_3$-równoważne.

Zobacz też

• kwadratura koła Tarskiego
• miara
• zbiór Bernsteina
• zbiór Vitalego

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld
• Szablon:Cytuj stronę
• Szablon:Otwarty dostęp Michael Stevens, The Banach–Tarski Paradox, kanał Vsauce na YouTube, 1 sierpnia 2015 [dostęp 2021-03-15]. Szablon:Lang
• Szablon:Otwarty dostęp Jacqueline Doan i Alex Kazachek, Does math have a major flaw?, kanał TED-Ed na YouTube, 23 kwietnia 2024 [dostęp 2024-08-23].