Podwojenie sześcianu

Podwojenie sześcianu, problem delijski^[1] – jeden z trzech, obok trysekcji kąta i kwadratury koła, wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej, polegający na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany.

Legenda mówi, że w czasie zarazy na Delos wyrocznia delficka przekazała proroctwo Apollina, że choroba ustanie, gdy jego ołtarz w świątyni w Delfach zostanie powiększony dwukrotnie. Zrozumiano to w ten sposób, że należy dwukrotnie powiększyć objętość ołtarza, zachowując jego kształt sześcianu^[2].

Klasyczne rozwiązanie problemu przy pomocy cyrkla i linijki nie jest możliwe^[2]; problem może jednak być rozwiązany przy pomocy metod nieklasycznych, na przykład mezolabium^[2], konchoidografu i konchoidy Nikomedesa lub cysoidy Dioklesa.

W języku algebry problem podwojenia sześcianu sprowadza się do zbudowania odcinka $x$ spełniającego równanie $x^{3} = 2 a^{3},$ gdzie $a$ jest dane. Przyjmując $a$ za jednostkę, problem sprowadza się do zbudowania pierwiastka 3 stopnia z liczby 2. Nie jest to jednak możliwe: $\sqrt[3]{2}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 3, podczas gdy teoria mówi, że dana liczba daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jej stopień nad ciałem liczb wymiernych jest naturalną potęgą liczby 2.