Trysekcja kąta

Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta $\phi$ kąt o mierze $\frac{1}{3}\phi$ jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian

$4x^3-3x-\cos \phi$

jest rozkładalny w ciele $\mathbb{Q}(\cos \phi ).$

Konstrukcja Archimedesa

Rezygnując z wymogu użycia tylko cyrkla i liniału, można dokonać trysekcji kąta ostrego, wykorzystując konstrukcję Archimedesa (konstrukcja neusis). Używa się do niej cyrkla i liniału z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y. Najpierw należy nakreślić okrąg o środku O (gdzie O – wierzchołek kąta) i promieniu $r=|XY|.$ Punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta oznaczyć jako A i B. Następnie poprowadzić prostą OA oraz prostą $l$ za pomocą linijki tak, aby jeden z zaznaczonych na linijce punktów np. X należał do prostej OA, zaś (drugi zaznaczony na linijce punkt) Y należał do okręgu i tak by prosta $l$ przechodziła przez punkt B. Wówczas proste OA i $l$ przetną się pod kątem $\frac{\alpha }{3}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].
• Szablon:Lang John J O’Connor, Edmund F. Robertson, Trysekcja kąta w MacTutor History of Mathematics archive