Kwadratura koła

Kwadratura koła

Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.

Wykonalność i próby

Konstrukcja taka jest niewykonalna – wynika to z twierdzenia udowodnionego w roku 1837 przez Pierre’a Wantzela oraz faktu wykazanego w 1882 roku przez Ferdinanda Lindemanna, iż π jest liczbą przestępną.

Pierwsze próby kwadratury koła sięgają Starożytnego Egiptu, opisane zostały jako problem 48 w Papirusie Rhinda, gdzie opisana została aproksymacja kwadratury koła.

Kwadratura koła jest bezpośrednio związana z rektyfikacją okręgu: gdyby jedna z tych konstrukcji była wykonalna, oznaczałoby to, że wykonalna jest także druga.

Określenie „kwadratura koła” funkcjonuje również w języku potocznym i oznacza coś niewykonalnego, z góry skazanego na niepowodzenie.

Hipotetyczne rozwiązanie

• promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy ⅔ wysokości tego trójkąta, czyli R = ⅔h.
• promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy ⅓ wysokości tego trójkąta, czyli r = ⅓h.
• wysokość trójkąta równobocznego jest równa połowie boku pomnożonej przez √3, czyli h = ½a√3.
• długość boku trójkąta równobocznego można obliczyć ze wzoru: a = h 3–√ 2.

Podstawiając dane do wzorów, otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{array}{c}R=2/3h\\ r=1/3h\\ h=1/2a\sqrt{3}\\ a=h\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}$

Rozwiązując układ równań, otrzymujemy:

$\{\begin{array}{c}h=3/2R\\ h=3r\\ a=3/2R\sqrt{2}\sqrt{3}\\ a=3r\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}$

Podstawiając r = 1 i a = √π, otrzymujemy:

$\{\begin{array}{c}h=3/2R\\ h=3\\ a=3/2R\sqrt{2}\sqrt{3}\\ a=\sqrt{\pi }\end{array}$

Z tych równań wynika, że R = 2 i a = √π. Zatem bok trójkąta równobocznego z opisanego na nim koła tak, by r = 1 i a = √π, jest równy √π.

Konstrukcyjnie trzeba utworzyć trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, podstawa trójkąta będzie bokiem kwadratu, o wysokości h=3r dla r=1

Zobacz też

• kwadratura figury geometrycznej
• księżyce Hipokratesa

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].
• Szablon:Cytuj