Różniczka funkcji

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Spis treści Różniczka – w analizie klasycznej wielkość reprezentująca zasadniczą część zmiany danej funkcji względem zmian zmiennej niezależnej, w analizie niestandardowej nieskonczenie mała zmiana danej zmiennej. Różniczkę funkcji $y = f (x)$ definiuje się jako wyrażenie postaci

d y = \frac{d y}{d x} d x,

podobnie jak pochodna $\frac{d y}{d x}$ reprezentowała iloraz wielkości $d y$ przez wielkość $d x .$ Pisze się również

d f (x) = f^{'} (x) d x .

Dokładne znaczenie tego typu wyrażeń zależy od kontekstu zastosowań i wymaganego poziomu rygoru matematycznego. W analizie klasycznej $d y$ oraz $d x$ są po prostu dodatkowymi rzeczywistymi zmiennymi, na których można działać zgodnie z ich naturą. Dziedzina tych zmiennych może zależeć od konkretnego znaczenia geometrycznego, gdy różniczka postrzegana jest jako pewna forma różniczkowa oraz analitycznego, jeżeli różniczka jest postrzegana jako przybliżenie liniowe przyrostu funkcji. W zastosowaniach fizycznych zmienne $d x$ oraz $d y$ definiuje się jako („infinitezymalne”).

Historia i wykorzystanie

Różniczka została wprowadzona za pomocą intuicyjnej czy też heurystycznej definicji Gottfrieda Wilhelma Leibniza, który myślał o różniczce $d y$ jako o nieskończenie małej („infinitezymalnej”) zmianie wartości $y$ funkcji odpowiadającej nieskończenie małej zmianie $d x$ argumentu $x$ funkcji. Z tego powodu szybkość zmiany $y$ względem $x$ w danej chwili, będąca wartością pochodnej funkcji, jest oznaczana za pomocą ułamka

\frac{d y}{d x} .

Taki sposób zapisu pochodnych nazywa się notacją Leibniza. Iloraz $\frac{d y}{d x}$ nie jest oczywiście nieskończenie mały; jest to liczba rzeczywista.

Wykorzystanie infinitezymalnych w tej formie spotkało się z szeroką krytyką, przykładem może być znany pamflet The Analyst autorstwa biskupa Berkeleya. Augustin Louis Cauchy (1823) zdefiniował różniczkę bez odwoływania się do atomizmu infinitezymalnych Leibniza^[1]^[2]. Odwrócił on mianowicie, naśladując d’Alemberta, logiczny porządek Leibniza i jego następców: to pochodna stała się obiektem podstawowym, określona jako granica ilorazu różnicowego, a różniczki zdefiniował za ich pomocą. Innymi słowy można było zdefiniować różniczkę $d y$ za pomocą wyrażenia

d y = f^{'} (x) d x,

w którym $d y$ i $d x$ są po prostu nowymi zmiennymi przyjmującymi skończone wartości rzeczywisteSzablon:Odn, a nie stałymi infinitezymalnymi, jakimi były dla Leibniza^[3].

Według Boyera (1959, s. 12) podejście Cauchy’ego stanowiło znaczącą poprawę pod względem logicznym nad podejściem infinitezymalnym Leibniza, ponieważ zamiast korzystać z metafizycznego pojęcia infinitezymalnych można było sensownie manipulować wielkościami $d y$ i $d x$ w dokładnie taki sam sposób jak dowolnymi innymi wielkościami rzeczywistymi. Ogólne podejście Cauchy’ego do różniczek pozostaje standardowym we współczesnej analizie klasycznej^[4], choć ostateczne słowo dotyczące rygoru, w pełni współczesne pojęcie granicy, zostało powiedziane przez Karla Weierstrassa Szablon:Odn.

W metodach fizycznych, takich jak te stosowane w teorii termodynamiki, nadal przeważa postrzeganie infinitezymalne, gdzie różniczkę jako nieskończenie małą definiuje się precyzyjnie w analizie niestandardowej.

W analizie niestandardowej różniczka to po prostu nieskończenie mała zmiana (liczba hiperrzeczywista).

W obliczu dwudziestowiecznych zdobyczy analizy matematycznej i geometrii różniczkowej stało się jasne, że pojęcie różniczki funkcji można rozszerzyć na wiele sposobów. W analizie rzeczywistej wygodniej jest mieć do czynienia z częścią główną przyrostu funkcji. Prowadzi to do bezpośrednio do pojęcia różniczki funkcji w punkcie jako funkcjonału liniowego przyrostu $Δ x,$ Podejście to umożliwia uogólnienie różniczki (jako przekształcenia liniowego) na wiele innych, bardziej wyszukanych przestrzeni, co ostatecznie prowadzi do pojęć takich jak pochodna Frécheta czy pochodna Gâteaux. Podobnie w geometrii różniczkowej różniczka funkcji w punkcie to funkcja liniowa wektora stycznego („nieskończenie małego przesunięcia”), co wskazuje na nią jako na rodzaj 1-formy: pochodną zewnętrzna funkcji.

Definicja formalna

Różniczkę we współczesnym rozumieniu rachunku różniczkowego definiuje się następująco^[5]: Różniczką funkcji $f (x)$ jednej zmiennej rzeczywistej $x$ jest funkcja $d f$ dwóch niezależnych zmiennych rzeczywistych $x$ oraz $Δ x$ dana wzorem

d f (x, Δ x) \overset{d e f}{=} f^{'} (x) Δ x .

W zapisie pomija się jeden lub oba argumenty, tzn. można się spotkać z napisami $d f (x)$ lub po prostu $d f .$ Jeśli $y = f (x),$ to różniczkę można zapisać także jako $d y .$ Ponieważ $d x (x, Δ x) = Δ x,$ to zwyczajowo pisze się $d x = Δ x$ tak, że spełniona jest równość

d f (x) = f^{'} (x) d x .

Tę notację różniczki stosuje się zwykle, gdy szuka się przybliżenia liniowego funkcji przy dostatecznie małej wartości przyrostu $Δ x .$ Dokładniej, jeśli $f$ jest funkcją różniczkowalną w punkcie $x,$ to różnica wartości funkcji

Δ y \overset{d e f}{=} f (x + Δ x) - f (x)

spełnia

Δ y = f^{'} (x) Δ x + ε = d f (x) + ε,

gdzie błąd $ε$ przybliżenia spełnia $\frac{ε}{Δ x} \to 0$ przy $Δ x \to 0 .$ Innymi słowy uzyskuje się przybliżoną tożsamość

Δ y \approx d y,

w której błąd względem $Δ x$ można uczynić tak małym, jak się tego chce przyjmując, iż $Δ x$ jest dostatecznie małe, tzn.

\frac{Δ y - d y}{Δ x} \to 0

przy $Δ x \to 0 .$ Z tego powodu różniczkę funkcji nazywa się częścią główną (liniową) przyrostu funkcji: różniczka jest funkcją liniową przyrostu $Δ x$ i choć błąd $ε$ może nie być liniowy, to dąży on szybko do zera, gdy $Δ x$ dąży do zera.

Własności

Wiele własności różniczki wynika wprost z odpowiednich własności pochodnej, pochodnej cząstkowej i pochodnej zupełnej; wśród nichSzablon:Odn:

liniowość: dla stałych $a$ i $b$ oraz funkcji różniczkowalnych $f$ i $g,$
$d (a f + b g) = a d f + b d g .$
reguła iloczynu: dla dwóch funkcji różniczkowalnych $f$ i $g,$
$d (f g) = f d g + g d f .$

Działanie $d$ o powyższych dwóch własnościach znane jest w algebrze jako różniczkowanie. Dodatkowo zachodzą różne postaci reguły łańcuchowej, według rosnącego poziomu ogólnościSzablon:Odn:

Jeśli $y = f (u)$ jest funkcją różniczkowalną zmiennej $u,$ zaś $u = g (x)$ jest funkcją różniczkowalna zmiennej $x,$ to
$d y = f^{'} (u) d u = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) d x .$
Jeżeli $y = f (x_{1}, \dots, x_{n})$ i wszystkie zmienne $x_{1}, \dots, x_{n}$ zależą od innej zmiennej $t,$ to z reguły łańcuchowej dla pochodnych cząstkowych jest
$\begin{matrix} d y & = \frac{d y}{d t} d t \\ = \frac{\partial y}{\partial x_{1}} d x_{1} + \dots + \frac{\partial y}{\partial x_{n}} d x_{n} \\ = \frac{\partial y}{\partial x_{1}} \frac{d x_{1}}{d t} d t + \dots + \frac{\partial y}{\partial x_{n}} \frac{d x_{n}}{d t} d t . \end{matrix}$

Heurystycznie reguła łańcuchowa dla wielu zmiennych może być rozumiana jako obustronne dzielenie obu stron równania przez nieskończenie małą wielkość

d t .

Prawdziwe są ogólniejsze, analogiczne wyrażenia, w których zmienne pośrednie $x_{i}$ zależą od więcej niż jednej zmiennej.

Sformułowanie ogólne

Szablon:Zobacz też Można przestawić spójne pojęcie różniczki dla funkcji $f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ między dwoma przestrzeniami euklidesowymi. Niech $x, Δ x \in ℝ^{n}$ będą odpowiednio punktem i wektorem euklidesowym. Przyrost funkcji $f$ to

Δ f = f (x + Δ x) - f (x) .

Jeśli istnieje macierz $𝐀$ typu $m \times n$ taka, że

Δ f = 𝐀 Δ x + ‖ Δ x ‖ ε,

gdzie wektor $ε \to 𝟎$ przy $Δ x \to 𝟎,$ to funkcja $f$ jest z definicji różniczkowalna w punkcie $x .$ Macierz $𝐀$ nazywa się często macierzą Jacobiego, a przekształcenie liniowe, które przypisuje przyrostowi $Δ x \in ℝ^{n}$ punkt $𝐀 Δ x \in ℝ^{m}$ jest, w tej sytuacji, nazywane różniczką $d f (x)$ funkcji $f$ w punkcie $x .$ Jest to dokładnie pochodna Frécheta; ta sama konstrukcja może być zastosowana dla dowolnej funkcji między przestrzeniami Banacha (a nawet dowolnymi przestrzeniami unormowanymi).

Innym owocnym punktem widzenia jest zdefiniowanie różniczki bezpośrednio jako rodzaju pochodnej kierunkowej,

d f (x, 𝐡) = \lim_{t \to 0} \frac{f (x + t 𝐡) - f (x)}{t} = \frac{d}{d t} f (x + t 𝐡) |_{t = 0},

które to podejście pojawiło się podczas definicji różniczek wyższych rzędów (jest to nieomalże definicja podana przez Cauchy’ego). Jeśli $t$ reprezentuje czas, zaś $x$ oznacza położenie, to $𝐡$ symbolizuje prędkość, a nie przemieszczenie, za jakie było dotąd uważane. Daje to inną możliwość udoskonalenia pojęcia pochodnej: powinna być to funkcja liniowa prędkości kinematycznej. Zbiór wszystkich prędkości w danym punkcie znany jest jako przestrzeń styczna, a więc $d f$ daje funkcję liniową w przestrzeń styczną: formę różniczkową. Ta interpretacja różniczki $f,$ znana jako pochodna zewnętrzna, ma szerokie zastosowania w geometrii różniczkowej, ponieważ pojęcia prędkości i przestrzeni stycznej mają sens w dowolnej rozmaitości różniczkowej. Jeśli dodatkowo wartość $f$ oznacza także położenie (w przestrzeni euklidesowej), to analiza wymiarowa potwierdza, że wartością $d f$ musi być prędkość. Traktowanie różniczki w ten sposób znane jest jako odwzorowanie styczne (ang. pushforward, pchnięcie; gdyż „pcha” ono prędkości z przestrzeni wyjściowej w prędkości w przestrzeni docelowej).

Inne podejścia

Szablon:Osobny artykuł Choć pojęcie przyrostu infinitezymalnego $d x$ nie jest dobrze określone we współczesnej analizie matematycznej, to istnieje wiele technik definiowania infinitezymalnej różniczki tak, iż różniczka funkcji może być wykorzystywana w sposób, który jest zgodny z notacją Leibniza; wśród nich:

Określenie różniczki jako rodzaju formy różniczkowej, szczególnie jako pochodnej zewnętrznej funkcji. Przyrosty infinitezymalne utożsamia się wtedy z wektorami przestrzeni stycznej w danym punkcie. Podejście to jest populatne w geometrii różniczkowej i związanych z nią działach, ponieważ łatwo uogólnia się na odwzorowania między rozmaitościami różniczkowymi.
Różniczki jako elementy nilpotentne pierścieni przemiennych. To podejście jest popularne w geometrii algebraicznej Szablon:Odn.
Różniczki w gładkich modelach teorii mnogości. To podejście znane jest jako syntetyczna geometria różniczkowa (ang. synthetic differential geometry) lub gładka analiza nieskończenie małych (ang. smooth infinitesimal analysis) i jest ono związane z podejściem w geometrii algebraicznej z tym, że idee teorii toposów służą ukryciu mechanizmów wprowadzania nieskończenie małych nilpotentnych^[6].
różniczki jako nieskończenie małe w systemach liczb hiperrzeczywistych, które są rozszerzeniami liczb rzeczywistych zawierającymi odwracalne nieskończenie małe i nieskończenie wielkie liczby. Podejście to spotykane jest w analizie niestandardowej, w którym pionierem był Abraham Robinson^[7].

Przykłady i zastosowania

Różniczki można stosować z powodzeniem w analizie numerycznej do badania propagacji błędów eksperymentalnych w obliczeniach, a przez to ogólnej stabilności numerycznej problemu (Courant 1937i). Niech zmienna $x$ oznacza rezultat eksperymentu, zaś $y$ będzie wynikiem obliczenia numerycznego na $x .$ Pytanie brzmi: w jakim stopniu błędy pomiaru $x$ wpływają na wynik obliczenia $y ?$ Jeśli wiadomo o $x,$ iż różni się o $Δ x$ od jego prawdziwej wartości, to twierdzenie Taylora daje następujące oszacowanie na błąd $Δ x$ w obliczeniu $y :$

Δ y = f^{'} (x) Δ x + \frac{(Δ x)^{2}}{2} f^{″} (ξ),

gdzie $ξ = x + θ Δ x$ dla pewnego $0 < θ < 1 .$ Jeśli $Δ x$ jest małe, to wyrażenie drugiego rzędu jest zaniedbywalne i w ten sposób $Δ y,$ do zastosowań praktycznych, jest dobrze przybliżane przez $d y = f (x) Δ x .$

Różniczki używa się do zapisania równania różniczkowego

\frac{d y}{d x} = g (x)

w postaci

d y = g (x) d x,

w szczególności, jeśli pożądane jest rozdzielenie zmiennych.

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Różniczka funkcji na Wolfram Demonstrations Project

Szablon:Rachunek różniczkowy

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ Szczegółowy opis historyczny różniczki można znaleźć w Szablon:Odn, wkład Cauchy’ego opisano na 275 stronie. Skrócony opis znajduje się w Szablon:Odn.
↑ Cauchy wyraźnie zaprzeczył możliwości istnienia aktualnych wielkości infinitezymalnych i nieskończonych (Szablon:Odn) i przyjął radykalnie inny punkt widzenia, iż „wielkość zmienna staje się nieskończenie mała, jeżeli jej wartość liczbowa zmniejsza się nieskończenie tak, że zbiega do zera”. (Cauchy 1823, s. 12; tł. z Szablon:Odn: a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero).
↑ Szablon:Odn: „Różniczki jako tak zdefiniowane są tylko nowymi zmiennymi, a nie ustalonymi infinitezymalnymi…” (The differentials as thus defined are only new variables, and not fixed infinitesimals…).
↑ Courant 1937i, II, § 9: „Zaznaczymy tutaj jedynie, że jest możliwym wykorzystanie tej przybliżonej reprezentacji przyrostu $Δ y$ przez wyrażenie liniowe $h f (x)$ do skonstruowania logicznie poprawnej definicji «różniczki», jak to w szczególności uczynił Cauchy” (Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment $Δ y$ by the linear expression $h f (x)$ to construct a logically satisfactory definition of a „differential”, as was done by Cauchy in particular.).
↑ Zob. przykładowo ważne rozprawy: Courant 1937i, Szablon:Odn, Szablon:Odn i Szablon:Odn. Wśród źródeł pochodnych tej definicji można wymienić: Tołstow 2001 oraz Szablon:Odn.
↑ Zob. Szablon:Odn oraz Szablon:Odn.
↑ Zob. Szablon:Odn oraz Szablon:Odn.

[1] Szczegółowy opis historyczny różniczki można znaleźć w Szablon:Odn, wkład Cauchy’ego opisano na 275 stronie. Skrócony opis znajduje się w Szablon:Odn.

[2] Cauchy wyraźnie zaprzeczył możliwości istnienia aktualnych wielkości infinitezymalnych i nieskończonych (Szablon:Odn) i przyjął radykalnie inny punkt widzenia, iż „wielkość zmienna staje się nieskończenie mała, jeżeli jej wartość liczbowa zmniejsza się nieskończenie tak, że zbiega do zera”. (Cauchy 1823, s. 12; tł. z Szablon:Odn: a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero).

[3] Szablon:Odn: „Różniczki jako tak zdefiniowane są tylko nowymi zmiennymi, a nie ustalonymi infinitezymalnymi…” (The differentials as thus defined are only new variables, and not fixed infinitesimals…).

[4] Courant 1937i, II, § 9: „Zaznaczymy tutaj jedynie, że jest możliwym wykorzystanie tej przybliżonej reprezentacji przyrostu $Δ y$ przez wyrażenie liniowe $h f (x)$ do skonstruowania logicznie poprawnej definicji «różniczki», jak to w szczególności uczynił Cauchy” (Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment $Δ y$ by the linear expression $h f (x)$ to construct a logically satisfactory definition of a „differential”, as was done by Cauchy in particular.).

[5] Zob. przykładowo ważne rozprawy: Courant 1937i, Szablon:Odn, Szablon:Odn i Szablon:Odn. Wśród źródeł pochodnych tej definicji można wymienić: Tołstow 2001 oraz Szablon:Odn.

[6] Zob. Szablon:Odn oraz Szablon:Odn.

[nonstd-7] Zob. Szablon:Odn oraz Szablon:Odn.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]