Iloraz różnicowy

Szablon:Dopracować Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.

Definicja

Niech $f:X\to Y$ i $x_1,x_2\in X.$ Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz:

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$

Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie $\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x},$ gdzie $\mathrm{\Delta }f$ oznacza licznik, zaś $\mathrm{\Delta }x$ – mianownik powyższego ułamka.

Przykład

Dla funkcji $f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^3$ i punktów $x_1=0,x_2=1$ ich iloraz różnicowy wynosi:

$\frac{1^3-0^3}{1-0}=1.$

Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów $x_1,x_2.$ Prostą $PQ$ nazywa się sieczną lub cięciwą.

Uwaga

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}$

wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.

Jeżeli $f$ określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji $f$ w dla punktów $x_1,x_2$ określa średnią prędkość ciała w czasie od $x_1$ do $x_2.$

Związek z pochodną

Szablon:Osobny artykuł Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie x₀ jest definiowana jako następująca granica ilorazu różnicowego:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Uogólnienia

Ilorazem różnicowym $N$-tego rzędu funkcji $f:X\to Y$ w punktach $x_0,x_1,\dots ,x_N\in X$ nazywamy funkcję

$f[x_0,x_1,\dots ,x_N]:=\sum _{i=0}^N\frac{f(x_i)}{\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=0}{j\ne i}}^N(x_i-x_j)}.$

Prawdziwy jest związek rekurencyjny:

$\{\begin{array}{c}f[x_i]=f(x_i)(0⩽i⩽N)\\ f[x_k,x_{k+1},\dots ,x_{k+m}]=\frac{f[x_{k+1},x_{k+2},\dots ,x_{k+m}]-f[x_k,x_{k+1},\dots ,x_{k+m-1}]}{x_{k+m}-x_k}(0⩽k<k+m⩽n)\end{array}.$