Nieskończenie małe

Nieskończenie małe (infinitezymalne) – pojęcie analizy matematycznej o co najmniej dwóch znaczeniach:

• historycznie: funkcje dążące do zera w danym punkcie;
• w analizie niestandardowej: podzbiór ciała uporządkowanego $𝔉:=(𝔽,+,\cdot ,0,1,<)$ zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci $1/n$ (gdzie $n$ rozumie się jako $n$-krotną sumę jedności $1$ ciała $𝔽$), czyli zbiór:

$\mathrm{\Omega }:=\{x\in 𝔽:{\mathrm{\forall }}_{n\in \mathbb{N}}|x|<1/n\}.$

Ta druga definicja jest poprawna, ponieważ:

• w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy,
• istnieją liczby „naturalne” (jako skończone sumy multiplikatywnego elementu neutralnego),
• da się zdefiniować funkcję moduł jako:

$|x|:=\{\begin{array}{cc}x& \text{dla }x⩾0,\\ -x& \text{dla }x<0,\end{array}$

gdzie $-x$ oznacza element przeciwny do $x$ względem działania addytywnego.

Ciało liczb rzeczywistych

W ciele liczb rzeczywistych $\Re :=(ℝ,+,\cdot ,0,1,<)$ jedyną liczbą nieskończenie małą jest liczba $0,$ czyli $\mathrm{\Omega }=\{0\}.$

Ciało liczb hiperrzeczywistych

Szablon:Osobna sekcja W ciele liczb hiperrzeczywistych ${\Re }^{*}:=({ℝ}^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )$ zbiór liczb nieskończenie małych to

$\mathrm{\Omega }=\{x\in {ℝ}^{*}:{\mathrm{\forall }}_{r\in {ℝ}_{+}}|x|\prec r^{*}\}$ i liczb tych jest nieskończenie wiele.

Do zbioru $\mathrm{\Omega }$ należy np. liczba $[(1/n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]$.

Struktura $(\mathrm{\Omega },\oplus ,0^{*})$ jest grupą, a $(\mathrm{\Omega },\oplus ,\odot ,0^{*})$ jest pierścieniem oraz grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych.

W zbiorze $\mathrm{\Omega }$ nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej.

Liczby odwrotne względem działania $\odot$ do niezerowej liczby nieskończenie małej są liczbami nieskończenie dużymi.

Zobacz też

• różniczka