Własność Radona-Nikodýma

Własność Radona-Nikodýma – własność przestrzeni Banacha, która pozwala na rozszerzenie klasycznego twierdzenia Radona-Nikodýma na miary wektorowe o wartościach w danej przestrzeni. Klasa przestrzeni Banacha mających własność Radona-Nikodýma pozwala na przeniesienie klasycznych twierdzeń dotyczących różniczkowania (jak, na przykład, twierdzenie Rademachera) na funkcje o wartościach wektorowych.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Przestrzeń $X$ ma własność Radona-Nikodýma względem przestrzeni z miarą ($\mathrm{\Omega },$ $\mu$), gdy dla każdej miary wektorowej $\nu$ o ograniczonym wahaniu, która jest bezwzględnie ciągła względem $\mu$ istnieje taka funkcja

$g:\mathrm{\Omega }\to X$

całkowalna w sensie Bochnera (nazywana pochodną Radona-Nikodýma miary $\nu$), że

$\nu (A)=\underset{A}{\int }g(\omega )\mu (\mathrm{d}\omega )$

dla każdego $\mu$-mierzalnego zbioru $A.$ Przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma, gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z miarą probabilistycznąSzablon:Odn.

Własność Radona-Nikodýma przestrzeni ℓ₁

Niech ($\mathrm{\Omega },$ $\mu$) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $\nu$ będzie miarą wektorową o wartościach w przestrzeni ℓ₁, która jest bezwzględnie ciągła względem $\mu ,$ tj. dla wszelkich zbiorów $\mu$-mierzalnych $A$ zachodzi warunek

$\Vert \nu (A)\Vert ⩽\mu (A).$

Ponieważ elementami przestrzeni ℓ₁ są ciągi, można zapisać

$\nu (A)=({\nu }_1(A),{\nu }_2(A),{\nu }_3(A),\dots ).$

Każda z miar skalarnych ${\nu }_i$ jest bezwzględnie ciągła względem $\mu ,$ więc w przypadku każdej z nich stosuje się twierdzenie Radona-Nikodýma, tj. istnieją funkcje całkowalne

$g_i:\mathrm{\Omega }\to ℂ$

o tej własności, że

${\nu }_i(A)=\underset{A}{\int }{g}_i(\omega )\mu (\mathrm{d}\omega ).$

Funkcja

$g(\omega )=(g_1(\omega ),g_2(\omega ),\dots )$

przyjmuje wartości w ℓ₁ dla prawie wszystkich $\omega$ oraz jest pochodną Radona-Nikodýma $\nu .$Szablon:Odn

Charakteryzacja przez funkcje lipschitzowskie

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ma ona własność Radona-Nikodýma wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja lipschitzowska

$f:[0,1]\to X$

jest różniczkowalna prawie wszędzie.

$L_1$ nie ma własności Radona-Nikodýma

Używając powyższej charakteryzacji można wykazać, że przestrzeń $L_1[0,1]$ nie ma własności Radona-Nikodýma. Istotnie, funkcja

$f:[0,1]\to L_1[0,1]$

dana wzorem

$f(t)={\mathrm{𝟣}}_{[0,t]}(t\in [0,1])$

spełnia warunek Lipschitza, ponieważ jest izometrią. Dla

$0⩽s<t<1$

wyrażenie

$\frac{f(t)-f(s)}{t-s}=\frac{{\mathrm{𝟣}}_{(s,t]}}{t-s}$

ma normę 1, a więc nie jest zbieżne do 0 przy żadnym ustalonym $s$ oraz $t\to s$Szablon:Odn.

Twierdzenie Lindenstraussa

Joram Lindenstrauss udowodnił, że każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalnySzablon:Odn.

Przykłady

Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma:

• przestrzenie refleksywne,
• przestrzenie ośrodkowe będące przestrzeniami sprzężonymi; ogólniej, podprzestrzenie przestrzeni WCG będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi,
• przestrzenie słabo lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie sprzężone przestrzeni, w których norma jest funkcją różniczkowalną w sensie Frécheta,
• przestrzeń ${\ell }_1(\mathrm{\Gamma }),$ gdzie $\mathrm{\Gamma }$ jest dowolnym zbiorem,
• przestrzenie Hardy’ego,
• przestrzeń szeregów bezwarunkowo zbieżnych w $X$ dla przestrzeni $X$ mających własność Radona-Nikodýma,
• przestrzeń $L_p(\mu ,X),$ gdy $X$ ma własność Radona-Nikodýma.

Wymienione niżej przestrzenie nie mają własności Radona-Nikodýma:

• przestrzenie $c,c_0,{\ell }_{\mathrm{\infty }},L_{\mathrm{\infty }}([0,1]),$
• przestrzenie operatorów zwartych i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na $X,$ gdy $X=L_p$ lub $X=c_0.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę