Twierdzenie Rademachera

Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące o różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja $f:U\to 𝐑$ spełnia w zbiorze otwartym $U\subseteq {𝐑}^n$ warunek Lipschitza ze stałą $M>0$

$|f(x)-f(y)|⩽M\Vert x-y\Vert \text{dla}x,y\in U,$

to posiada różniczkę prawie wszędzie w $U.$

Uwagi

1) Oczywiście z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji rzeczywistej (o wartościach w zbiorze $𝐑$) łatwo wnioskuje się, że jest ono prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni wektorowej ${𝐑}^n.$ Wynika to z faktu, że funkcja $f:U\to {𝐑}^n$ spełnia warunek Lipschita ⇔ każda składowa $f_k:U\to 𝐑$ funkcji $f=(f_1,\dots ,f_n)$ spełnia warunek Lipschitza.

2) W twierdzeniu wystarczy założyć tylko spełnianie lokalnego warunku Lipschitza. Stała $M>0$ nie musi być globalna dla całego zbioru $U.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Rademacher theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].