Pierścień wielomianów

Szablon:Spis treści Pierścień wielomianów – pierścień określony na zbiorze wielomianów jednej lub więcej zmiennych o współczynnikach z ustalonego pierścienia. Pierścienie wielomianów stanowiły inspirację do rozwoju wielu działów matematyki, począwszy od twierdzenia Hilberta o bazie, przez konstrukcję ciał rozdzielczych, po rozumienie operatora liniowego. Wiele ważnych hipotez, takich jak hipoteza Serre'a, wpłynęło na badania nad innymi rodzajami pierścieni, a nawet było źródłem nowych definicji pierścieni, takich jak pierścienie grupowe, czy pierścienie szeregów formalnych.

Wielomiany jednej zmiennej

Wielomiany

Wprowadzenie do wielomianów jednej zmiennej można znaleźć w artykule o wielomianach.

Niech dany będzie dowolny pierścień z jedynką $R$ oraz symbol $X,$ nazywany zmienną, oraz jego potęgi, czyli symbole postaci $X^k,$ gdzie $k$ jest nieujemną liczbą całkowitą. Wielomianem zmiennej $X$ nad $R$ nazywa się wyrażenie postaci

$\mathrm{p}=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k,$

gdzie elementy $a_k\in R$ nazywa się współczynnikami tego wielomianu.

Przyjmując zwyczajowo $X^1=X$ oraz $X^0=1$ powyższe można zapisać jako kombinację liniową

$\mathrm{p}=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_0.$

Wyrażenia postaci $a_k{X}^k$ nazywa się wyrazami, wyraz $a_0$ często określa się mianem wyrazu wolnego. Dowolny wyraz $a_k{X}^k$ o zerowym współczynniku, $a_k=0,$ zwykle się pomija.

Dwa wielomiany uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie współczynniki przy każdej potędze $X$ są sobie równe. Stopniem wielomianu nazywa się największe takie $k,$ dla którego współczynnik przy $X^k$ jest niezerowy. W przypadku wielomianu zerowego stopień jest niezdefiniowany lub, z racji pożądanych własności algebraicznych tego symbolu, przyjmuje się oznaczenie $-\mathrm{\infty }.$

Pierścień wielomianów

Sumy powyższej postaci można dodawać i mnożyć zgodnie ze zwykłymi regułami operowania na wyrażeniach algebraicznych takich jak łączność, przemienność (w odpowiednim przypadku), rozdzielność i łączenie wyrazów podobnych z zachowaniem tożsamości $X^k{X}^l=X^{k+l}$ dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych $k,l.$ Działania dodawania i mnożenia dane explicite odpowiednio wzorami

$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i\right)+\left(\sum _{i=0}^n{b}_i{X}^i\right)=\sum _{i=0}^n(a_i+b_i)X^i$

oraz

$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^m{b}_j{X}^j\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j\right)X^k.$

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników $a_i$ oraz $b_j$ jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z $R[X],$ co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej $X$ o współczynnikach z pierścienia $R$ tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny, oznaczany symbolem $R[X]$ nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej $X$ nad pierścieniem $R.$ Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak $X$ oraz jego potęgi $X^k$ traktuje się jako symbole formalne, spoza pierścienia $R.$ O pierścieniu $R[X]$ można myśleć jako o pierścieniu powstałym z $R$ przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu $X$ oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że $R[X]$ będzie tworzyć pierścień; prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg $X$ o współczynnikach z $R.$

Konstrukcja

Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia $R$ definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.

Dla ciągów

$\mathrm{p}=(a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n,0,0,\dots )$

oraz

$\mathrm{q}=(b_0,b_1,b_2,\dots ,b_m,0,0,\dots )$

można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:

$\mathrm{p}+\mathrm{q}=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ),$

$\mathrm{p}\cdot \mathrm{q}=(a_0{b}_0,a_0{b}_1+a_1{b}_0,a_2{b}_0+a_1{b}_1+a_0{b}_2,\dots ),$

co czyni ze zbioru $R[X]$ wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad $R$ pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.

Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień

$(0,0,0,0,\dots )=\mathrm{0},$

$(1,0,0,0,\dots )=X^0=\mathrm{1},$

$(0,1,0,0,\dots )=X^1=X,$

$(0,0,1,0,\dots )=X^2$ itd.,

przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.

Własności

• Jeżeli $R$ jest przemienny, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jedynką, to $R[X]$ również ją ma – jest to wielomian $(1,0,0,\dots ).$
• Jeżeli $R$ nie zawiera dzielników zera, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem całkowitym, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to $R[X]$ również (twierdzenie Gaussa).
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem noetherowskim, to $R[X]$ również (twierdzenie Hilberta o bazie).
• Jeżeli $R$ jest ciałem, to $R[X]$ jest pierścieniem euklidesowym.
• Pierścień $R[X]$ nie może być ciałem, gdyż element $X$ nie jest odwracalny.

Funkcja wielomianowa

Wartością wielomianu

$\mathrm{p}=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_0\in R[X]$

w punkcie $r\in R$ nazywa się element

$\mathrm{p}(r)=a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\dots +a_{1}r+a_0\in R.$

Przyporządkowanie $p_r$ dane wzorem $\mathrm{p}\mapsto \mathrm{p}(r)$ nazywa się ewaluacją wielomianu $\mathrm{p}$ w punkcie $r.$ Pierwiastkami wielomianu $\mathrm{p}$ nazywa się wszystkie te elementy $r,$ dla których wartość wielomianu jest równa zeru.

Funkcją wielomianową nazywa się przekształcenie $p:R\to R$ dane wzorem $r\mapsto \mathrm{p}(r),$ które przyporządkowuje każdemu elementowi pierścienia $R$ jego wartość, co można zapisać wzorem

$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,$

gdzie $x\in R.$

Przekształcenie przyporządkowujące każdemu wielomianowi $\mathrm{p}$ jego funkcję wielomianową $p$ oraz przekształcenie $p_r$ są homomorfizmami pierścieni. Jądro homomorfizmu $p_r$ stanowią wielomiany, dla których $r$ jest pierwiastkiem (z twierdzenia Bézouta – podzielne przez $X-r$).

W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze zwykle jest to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z₂ funkcje $x^2$ i $x$ są identyczne, gdyż $0^2=0$ oraz $1^2=1.$ W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

Pochodna wielomianu

Szablon:Osobny artykuł Pochodną wielomianu określa się wzorem

$\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k\right)=\sum _{k=1}^{n}k{a}_k{X}^{k-1}.$

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia $R,$ tj. różniczkowanie wielomianów może być określone, np. w pierścieniu klas reszt modulo n, gdzie branie granicy nie ma sensu. Tak określona pochodna ma następujące własności:

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime },$

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }.$

Za pomocą indukcji matematycznej można określić $k$-tą pochodną wielomianu:

$\{\begin{array}{cc}{f}^{(0)}& =f,\\ f^{(k)}& =(f^{(k-1)}{)}^{\prime }.\end{array}$

Teoria podzielności

Wielomian $f\in R[X]$ nazywa się wielomianem nierozkładalnym w $R[X],$ gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

Uogólnienia

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

• na funkcje wymierne – ciało ułamków pierścienia całkowitego $R[X]$ oznacza się przez $R(X)$ i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
• na większą liczbę zmiennych (patrz niżej);
• usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest $R[[X]].$

Wielomiany wielu zmiennych

Pierścień wielomianów $R[X][Y]$ nad pierścieniem wielomianów $R[X]$ nad pierścieniem $R$ nazywa się pierścieniem wielomianów zmiennych $X,Y$ nad pierścieniem $R$ i oznacza $R[X,Y].$ Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów $n$ zmiennych wzorem

$P[X_1,X_2,\dots ,X_n]=R[X_1,X_2,\dots ,X_{n-1}][X_n].$

Wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci $\sum _{i,j=0}^n{a}_{ij}{X}^i{Y}^j.$ Ogólniej, każdy wielomian $n$ zmiennych w postaci

$\sum _{(k_1,k_2,\dots ,k_n)\in A}{a}_{k_1,k_2,\dots ,k_n}\prod _{i=1}^n{X}_i^{k_i},$

gdzie $A\subset {\mathbb{N}}_0^n$ jest zbiorem skończonym.

Wielomiany symetryczne

Mając dany wielomian $\mathrm{f}\in R[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ można dokonać na nim permutacji zmiennych $\pi =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \dots & n\\ {\pi }_1& {\pi }_2& \dots & {\pi }_n\end{array}\right)$ otrzymując nowy wielomian:

$\mathrm{g}(X_1,X_2,\dots ,X_n)=\mathrm{f}(X_{{\pi }_1},X_{{\pi }_2},\dots ,X_{{\pi }_n}).$

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji $\pi$ lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu $\mathrm{f}.$ Przykład: wielomian $x+y-z$ nie zmienia się po zamianie zmiennych $x$ i $y.$

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa $S_n.$ Przykładem mogą być wielomiany

$X_1^2+X_2^2+X_3^2$

$X_1{X}_2{X}_3+X_1{X}_2{X}_4+X_1{X}_3{X}_4+X_2{X}_3{X}_4.$

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi $n$ zmiennych nazywa się wielomiany

${\mathrm{p}}_1=X_1+X_2+X_3+\dots +X_n,$

${\mathrm{p}}_2=X_1{X}_2+X_1{X}_3+\dots +X_{n-1}{X}_n,$

$\dots$

${\mathrm{p}}_n=X_1{X}_2\dots X_n.$

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny $n$ zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego $\mathrm{f}$ istnieje taki wielomian $\mathrm{g},$ że:

$\mathrm{f}(X_1,X_2,\dots ,X_n)=\mathrm{g}({\mathrm{p}}_1,{\mathrm{p}}_2,\dots ,{\mathrm{p}}_n).$

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

Zobacz też

• element algebraiczny

Uwagi

Szablon:Kontrola autorytatywna