Kryterium Eisensteina

Kryterium Eisensteina (lub kryterium Eisensteina-Schönemanna) – kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie to zwyczajowo nazywane jest kryterium Eisensteina, jednak pierwszym autorem był Schönemann, który udowodnił je w 1846.

Twierdzenie

Niech $P$ będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech $K$ będzie jego ciałem ułamków. Niech

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_0$

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia $P.$ Jeśli istnieje element pierwszy $p\in P$ taki, że

$p\mid a_0,p\mid a_1,\dots ,p\mid a_{n-1},p\nmid a_n$ oraz $p^2\nmid a_0,$

to wielomian $f$ jest nierozkładalny w pierścieniu $K[x].$

Szczególny przypadek

Jeśli $P$ jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

Przykłady

• Wielomian $f(x)=x^n+3x+3$ jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla $p=3.$
• Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to wielomian

$f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

$f(x+1)=\frac{(x+1{)}^p-1}{x}=\frac{1}{x}(x^p+(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{1})x^{p-1}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{p-1})x)=x^{p-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{1})x^{p-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{p-1}),$

gdzie $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})$ oznacza symbole Newtona, na przykład $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{p-1})=p.$

Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez $p,$ ale $p^2$ nie dzieli $p,$ zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę