Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta: Wartość dowolnego wielomianu $f(x)$ obliczona dla dowolnej wartości $x=r$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu $f(x)$ przez dwumian $(x-r)$. W szczególnym wypadku, gdy $f(r)=0$, to wielomian jest podzielny przez $(x-r)$, zaś $r$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Przykłady

(1) Wielomian $f(x)=x^3-12x^2-42$

nie jest podzielny przez $x-3$, gdyż $f(3)=-123\ne 0$; de facto w dzieleniu tego wielomianu przez $x-3$ otrzymuje się trójmian $g(x)=x^2-9x-27$ i resztę $r=f(3)=-123$.

(2) Wielomian $f(x)=x^5-2x^4+x^3-3x^2+x+2$

jest podzielny przez $x-2$, gdyż $f(2)=0$.

Twierdzenie Bézouta - ogólne sformułowanie

Niech $ℛ$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką.

Tw. Element $r\in ℛ$ jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu $f(x)\in ℛ[x]$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian $S(x)\in ℛ[x],$ że $f(x)=(x-r)S(x).$ Ponadto stopień wielomianu $S(x)$ jest o jeden niższy niż stopień wielomianu$f(x)$, tj. $\mathrm{deg}S(x)=\mathrm{deg}f(x)-1$.

Dowód:

Niech wielomian ma postać

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$

Różnica dwóch k-tych potęg dana jest znanym wzorem:

$x^k-r^k=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +x{r}^{k-2}+r^{k-1}).$

Niech $S_k=x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +x{r}^{k-2}+r^{k-1}$oznacza większy czynnik z prawej strony powyższej równości. Wtedy

$f(x)-f(r)=(x-r)(a_n{S}_n+\cdots +a_2{S}_2+a_1),$

(ponieważ $S_1=1$). Wtedy

$f(x)=(x-r)(a_n{S}_n+\cdots +a_2{S}_2+a_1)+f(r).$

Ponieważ $S(x)=a_n{S}_n+\cdots +a_2{S}_2+a_1$ jest wielomianem stopnia n-1 (gdyż np. $S_n=x^{n-1}+x^{n-2}r+\dots +x{r}^{n-2}+r^{n-1}$ jest wielomianem stopnia n-1), to otrzymujemy tezę twierdzenia, cnd.

Równość Bézouta

Wartość wielomianu $f(x)$ w punkcie $r$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu $f(x)$ przez dwumian $x-r,$ co wynika z ostatniej równości dowodu. Równość tę nazywa się równością Bézouta.

Zobacz też

• schemat Hornera

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Twierdzenie Bézouta – przykłady, matemaks.pl [dostęp 2024-05-17].