Prosta Sorgenfreya

Prosta Sorgenfreya, prosta z topologią Sorgenfreya, prosta z topologią strzałki, strzałka Niemyckiego – zbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę:

$ℬ=\{[a,b):a,b\in ℝ,a<b\}.$

Zbiór liczb rzeczywistych z topologią Sorgenfreya oznaczany bywa czasem symbolem ${ℝ}_l.$

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka amerykańskiego, Roberta Sorgenfreya. Przestrzeń ta, podobnie jak płaszczyzna Niemyckiego czy zbiór Cantora, jest często wykorzystywanym kontrprzykładem w topologii ogólnej.

Własności

• Topologia strzałki jest silniejsza (większa) od naturalnej topologii (euklidesowej) na prostej ponieważ każdy przedział otwarty można przedstawić jako sumę (nieskończenie wielu) przedziałów jednostronnie otwartych.
• Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ $(a<b),$ przedział $[a,b)$ jest zbiorem otwarto-domkniętym w topologii Sorgenfreya. Ponadto, dla dowolnego $a\in ℝ,$ przedziały

$(-\mathrm{\infty },a),[a,\mathrm{\infty })$

są również otwarto-domknięte. Oznacza to, że prosta Sorgenfreya jest całkowicie niespójna.

• Topologia strzałki spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności i jest ośrodkowa (na przykład, zbiór liczb wymiernych jest gęsty w $ℝ$ w topologii Sorgenfreya), ale nie spełnia ona drugiego aksjomatu przeliczalności. Wobec tego nie jest metryzowalna (ponieważ wszystkie ośrodkowe przestrzenie metryczne spełniają drugi aksjomat przeliczalności).
• Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią doskonale normalną.
• Produkt dwóch prostych Sorgenfreya nie jest przestrzenią normalną.

Dowód. Zbiór

$D=\{(-x,x):x\in ℝ\}$

jest dyskretny i domknięty w ${ℝ}_l\times {ℝ}_l.$ Istotnie, ponieważ jest on domknięty w standardowej topologii euklidesowej, która jest słabsza jest on także domknięty w topologii mocniejszej. Dyskretność wynika z tego, że dla każdego $x\in ℝ$ część wspólna ze zbiorem otwartym $[-x,-x+1)\times [x,x+1)$ jest jednoelementowa. Ponieważ $D$ jest dyskretnym i domkniętym zbiorem mocy continuum, ma on $2^{𝔠}>𝔠$ zbiorów domkniętych (każdy podzbiór jest domknięty). Gdyby produkt ${ℝ}_l\times {ℝ}_l$ był normalny, przeczyłoby to twierdzeniu Tietzego z którego wynikałoby, że na tej przestrzeni jest $2^{𝔠}$ różnych funkcji ciągłych, a jest ich tylko continuum z uwagi na ośrodkowość prostej Sorgenfreya (a więc też produktu jej dwóch kopii).

• Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią Baire’a.

Dowód. Podzbiór $X\subseteq ℝ$ jest gęsty w $ℝ$ w topologii Sorgenfreya wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty w $ℝ$ w zwykłej topologii euklidesowej. Niech $(V_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ będzie ciągiem zbiorów otwartych i gęstych w $ℝ$ w topologii Sorgenfreya. Dla każdego $n$ niech $U_n$ oznacza wnętrze zbioru $V_n$ w sensie topologii euklidesowej. Wówczas każdy ze zbiorów $U_n$ jest również jest gęsty w $ℝ$ w zwykłej topologii euklidesowej. Ponieważ $ℝ$ z topologią euklidesową jest przestrzenią Baire’a, część wspólna wszystkich zbiorów $U_n$ jest niepusta. W szczególności, część wspólna wszystkich zbiorów $V_n$ jest niepusta, co kończy dowód. □

• Prosta Sorgenfreya jest Lindelöfa, parazwarta, ale nie jest lokalnie zwarta ani σ-zwarta.

• Nie istnieje spójne uzwarcenie prostej Sorgenfreya.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę