Płaszczyzna Niemyckiego

Płaszczyzna Niemyckiego – przykład przestrzeni topologicznej szeroko wykorzystywany jako kontrprzykład w wielu pytaniach dotyczących topologii ogólnej. Konstrukcja płaszczyzny Niemcykiego pojawiła się w książce Topologie I Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa z roku 1935. Autorzy sam pomysł przykładu przypisują Wiktorowi Niemyckiemu.

Konstrukcja

Niech $L$ będzie górną półpłaszczyzną zawierającą oś odciętych, tzn. niech

$L=\{(x_1,x_2)\in {ℝ}^2:x_2⩾0\}.$

W zbiorze $L$ można wprowadzić topologię ${\tau }_N$ poprzez określenie bazy otoczeń $ℬ(𝐱)$ każdego punktu $𝐱\in L:$

• jeśli $𝐱=(x_1,x_2)\in L$ i $x_2>0,$ to niech

$ℬ(𝐱)=\{V(𝐱,i):i=1,2,3,\dots \},$ gdzie $V(𝐱,i)=\{𝐳\in L:d(𝐱,𝐳)<\frac{1}{i}\}$ a $d$ oznacza standardową odległość na płaszczyźnie,

• jeśli $𝐱=(x_1,0)\in L,$ to niech

$ℬ(𝐱)=\{U(𝐱,i):i=1,2,3,\dots \},$ gdzie $U(𝐱,i)=\{𝐱\}\cup \{𝐳\in L:d({𝐲}^i,𝐳)<\frac{1}{i}\}$ a ${𝐲}^i=(x_1,\frac{1}{i}).$

Przestrzeń topologiczna $(L,{\tau }_N)$ nazywana jest płaszczyzną Niemyckiego.

Własności

• Płaszczyzna Niemyckiego $(L,{\tau }_N)$ jest ośrodkową przestrzenią Tichonowa (ośrodkiem tej przestrzeni jest, na przykład, zbiór tych punktów, które mają obydwie współrzędne wymierne).
• Przestrzeń ta zawiera domkniętą dyskretną podprzestrzeń mocy continuum (np. zbiór $\{(x_1,x_2)\in L:x_2=0\}$ jest dyskretny i mocy continuum). W szczególności, $(L,{\tau }_N)$ jako przestrzeń ośrodkowa zawierająca podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, nie jest przestrzenią normalną.
• Każdy domknięty podzbiór płaszczyzny Niemyckiego jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
• Przestrzeń $(L,{\tau }_N)$ jest zupełna w sensie Čecha.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę