Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki

Szablon:Spis treści Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki – jeden z wielościanów archimedesowych, zbudowany z 62 ścian – 30 kwadratowych, 20 sześciokątnych i 12 dziesięciokątnych, ma 120 wierzchołków i 180 krawędzi.

Oznaczany jest symbolem Schläfliego $t {\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}}$ i symbolem Wythoffa $235 | .$ Wielościanem dualnym do tej bryły jest dwudziestościan szóstkowy^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7].

Wśród wszystkich wielościanów archimedesowych o tej samej długości krawędzi, ta bryła ma największą objętość i pole powierzchni^[1]^[2]^[3].

Wielościan jest zonościanem (ang. zonohedron)^[1].

Bryłę tę skonstruował przy pomocy origami E. K. Herrstrom – konstrukcja wykorzystuje 900 jednostek sonobè^[1].

Wzory i właściwości

Niech $a$ będzie długością krawędzi bryły.

Pole powierzchni całkowitej

$S = 30 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{2}$ ^[1]^[3]

Objętość

$V = (95 + 50 \sqrt{5}) a^{3} \approx 206, 803 a^{3}$ ^[1]^[3]

Promień kuli opisanej

$R_{1} = \frac{a}{2} \sqrt{31 + 11 \sqrt{5}} \approx 3, 80 a$ ^[3], z czego wynika, że objętość kuli opisanej na bryle wynosi $\frac{4 π {R_{1}}^{3}}{3},$ czyli około $230, 28 a^{3}$ ^[3]

Promień kuli wpisanej

$R_{2} = \frac{a}{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} \approx 3, 44 a,$ a więc objętość tej kuli można wyrazić wzorem $\frac{4 π {R_{2}}^{3}}{3},$ i wynosi ona w przybliżeniu $170, 65 a^{3}$ ^[3]

Dystans normalny od środka bryły do jej ścian możemy wyrazić następującymi wzorami:
- dla ściany kwadratowej $\frac{3 + 2 \sqrt{5} a}{2} \approx 3, 74 a$ ^[3]
- dla ściany sześciokątnej $\frac{\sqrt{3} + (2 + \sqrt{5}) a}{2} \approx 3, 67 a$ ^[3]
- dla ściany dwunastokątnej $R_{2} = \frac{a}{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} \approx 3, 44 a$ ^[3]

Niech ρ oznacza odległość od krawędzi do środka bryły. Opiszmy na bryle dwunastościan, i oznaczmy jego krawędź jako b, dwudziestościan, którego krawędź oznaczymy jako c oraz trzydziestościan rombowy, którego przekątna dłuższej ściany będzie posiadała oznaczenie d. Zachodzą wtedy następujące równości:
- $\frac{a}{ρ} = \sqrt{2} \frac{tg 1 8^{\circ}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{10 - 4 \sqrt{5}}{15}}$ ^[6]
- $\frac{a}{R_{1}} = 2 \sqrt{\frac{31 - 12 \sqrt{5}}{241}}$ ^[6]
- $\frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{10}$ ^[6]
- $\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{5} - 1}{6}$ ^[6]
- $\frac{a}{d} = \frac{7 - \sqrt{5}}{22}$ ^[6]

Powiązane obiekty

Z bryłą powiązanych jest wiele innych obiektów geometrycznych: wielościany z [5, 3] grupy Coxetera, parkietaże: euklidesowy, hiperboliczny, sferyczny. Istnieją też różne rzuty bryły i owych parkietaży^[1]^[2]^[3]. Z bryła powiązany jest graf.

Graf

Ilustracja przedstawia graf zero-symetryczny utworzony z bryły^[8].

Powiązane wielościany i parkietaże

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [5, 3] grupą Coxetera^[1]^[2]^[3].

Wielościan								Parkietaż euklidesowy	Parkietaż hiperboliczny
Diagram Coextera	[5, 3]	t[5, 3]	r[5, 3]	t[3, 5]	[3, 5]	rr[5, 3]	tr[5, 3]	[6, 3]	[7, 3]	[8, 3]
Odpowiadający obiekt	Dwunastościan	Dwunastościan ścięty	Dwudziesto-dwunastościan	Dwudziestościan ścięty	Dwudziestościan	Dwudziesto-dwunastościan rombowy mały	Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki

Rzuty ortogonalne

Przykłady kilku rzutów ortogonalnych dwudziesto-dwunastościanu rombowego wielkiego.Wycentrowane na wierzchołek, trzy typy krawędzi oraz trzy rodzaje ścian bryły^[3].

Rzuty ortogonalne bryły
Rzut wycentrowany na	Wierzchołek	Krawędzie 4-6	Krawędzie 4-10	Krawędzie 6-10	Ściana kwadratowa	Ściana sześciokątna	Ściana dziesięciokątna
Obraz

Parkietaże sferyczne i diagramy Schlegela

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki może być też ukazany jako element parkietażu sferycznego oraz podobnego diagramu Schlegela.

Bryła jako parkietaż sferyczny i diagram Schlegela, oraz rzuty tych obiektów
	Rzut ortograficzny	R. stereograficzny wycentrowany na:
	Rzut ortograficzny	dziesięciokąt	sześciokąt	kwadrat
Jako parkietaż sferyczny
Jako diagram Schlegela