Grupa Coxetera

Grupą Coxetera – grupa z wyróżnionym układem generatorów $\{r_i:i\in I\},$ którego elementy spełniają następujący układ relacji:

$(r_i{r}_j{)}^{n_{ij}}=1\text{ dla }i,j\in I,$

gdzie:

$n_{ii}=1,$ czyli $r_i^2=1$ dla dowolnego $i\in I,$

$n_{ij}=n_{ji}\in \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ dla $i,j\in I,i\ne j,$ przy czym $n_{ij}⩾2;$ dla $n_{ij}=\mathrm{\infty }$ nie istnieje relacja między $r_i$ a $r_j$.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Harolda Coxetera. Grupy tego rodzaju są rozważane w teorii grup dyskretnych jako uogólnienie grup odbić generowanych przez odbicia względem hiperpowierzchni w przestrzeni euklidesowej. Każda grupa odbić jest grupą Coxetera, jeśli jej generatorami są odbicia względem hiperpowierzchni ograniczających wielościan fundamentalny.

Macierz $(n_{ij}),$ gdzie $i,j\in I$ nazywa się macierzą Coxetera danej grupy Coxetera. Macierz ta i sama grupa może być zadana za pomocą grafu Coxetera – grafu o wierzchołkach $\{a_i:i\in I\},$ w którym wierzchołki $a_i$ i $a_j$ są połączone $(n_{ij}-2)$-krotną krawędzią, jeśli $n_{ij}<\mathrm{\infty }$ (w szczególności nie są w ogóle połączone, jeśli $n_{ij}=2$) i są połączone grubą krawędzią, jeśli $n_{ij}=\mathrm{\infty }.$ Czasem zamiast łączyć wierzchołki grafu krawędziami wielokrotnymi, łączy się je jedną krawędzią ze znakiem $n_{ij}$ nad nią.

Własności

• Jeśli $n_{ij}=2,$ to mnożenie $r_i$ przez $r_j$ jest przemienne.
• $n_{ij}$ jest rzędem elementu $r_i{r}_j.$

Przykłady

• Każda grupa generowana przez dwa elementy rzędu 2 jest grupą Coxetera o macierzy postaci $\left[\begin{array}{cc}2& m\\ m& 2\end{array}\right].$ Jej graf Coxetera:

• Grupa symetryczna ${𝔖}_n$ jest grupą Coxetera względem generatorów $r_i=(i,i+1)$ dla $i=1,2,\dots ,n-1$ ($r_i$ jest transpozycją elementów $i$ i $i+1$). Jej graf Coxetera:

• Macierzą Coxetera grupy ${𝔖}_4$ jest:

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 3& 2& 3\\ 2& 3& 2\end{array}\right]$

• Grupa $PGL=G{L}_2(\mathbb{Z})/\{\pm 1\}$ jest grupą Coxetera względem generatorów:

$r_1=\{\pm \left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\},r_2=\{\pm \left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\},r_3=\{\pm \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\}.$

Jej graf Coxetera:

Skończone grupy Coxetera

H.S.M. Coxeter w roku 1934 znalazł wszystkie grupy odbić w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej $E^n$ i wykazał, że są one grupami Coxetera. W następnej pracy wykazał, że każda skończona grupa Coxetera jest izomorficzna z pewną grupą odbić w $E^n,$ której elementy mają wspólny punkt stały. W ten sposób otrzymał klasyfikację grup skończonych Coxetera.

Grafy (diagramy) Coxetera skończonych grup Coxetera.

Nieskończone grupy Coxetera

Wśród nieskończonych grup Coxetera można wyróżnić grupy paraboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić w przestrzeni euklidesowej $E^n$ i grupy hiperboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić przestrzeni hiperbolicznej $L^n,$ elementy których nie mają wspólnej hiperpłaszczyzny niezmienniczej o wymiarze mniejszym od n (w przypadku hiperbolicznym za hiperpłaszczyznę należy uważać również punkt w nieskończoności).

Wszystkie paraboliczne grupy Coxetera zostały znalezione przez H.S.M. Coxetera, który udowodnił, że są to afiniczne grupy Weyla z teorii półprostych grup Liego.

Diagramy Coxetera afinicznych grup Weyla

Związek z wielościanami

Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia $r_i$ względem hiperpowierzchni $H_i,$ ograniczających wielościan fundamentalny $P$ tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:

1. jeśli ściany $H_i\cap P$ i $H_j\cap P$ przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy ${\alpha }_{ij},$ to ${r_i{r}_j}^{n_{ij}}=1,$ gdzie $n_{ij}=\frac{\pi }{{\alpha }_{ij}},$
2. jeśli ściany $H_i\cap P$ i $H_j\cap P$ nie przylegają do siebie, to $n_{ij}=\mathrm{\infty }.$

Wielościany fundamentalne grup Coxetera nazywają się wielościanami Coxetera. Wielościanami Coxetera można wypełnić przestrzeń. Mają więc związek z parkietażami i krystalografią.

Przykłady

• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
  • 2n-komórka foremna $\{(x_1,\dots ,x_n):0⩽x_i⩽1,i=1,\dots ,n\},$
  • (n + 1)-komórka (n-sympleks) $\{(x_1,\dots ,x_n):0⩽x_1\dots ⩽x_n⩽1\}.$
• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej sferze:
  • n-wymiarowy sympleks foremny o boku $\pi /2.$
• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej:
  • k-wielokąt foremny o kącie $\pi /m$ w przestrzeni 2-wymiarowej,
  • dwunastościan foremny (dodekaedr) prostokątny w przestrzeni 3-wymiarowej,
  • 120-ścian foremny prostokątny w przestrzeni 4-wymiarowej.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Coxeter group Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].