Parkietaż

Parkietaż chodnika (elementy nie są wielokątami)

Plaster miodu jest przykładem parkietażu spotykanego w przyrodzie

Parkietaż, kafelkowanie lub tesselacja – pokrycie płaszczyzny wielokątami przylegającymi i nie zachodzącymi na siebie. Można rozpatrywać parkietaże części płaszczyzny oraz powierzchni, które nie są płaskie (np. parkietaże sfery, np. kopuła geodezyjna). Można także badać parkietaże przestrzeni trójwymiarowej i przestrzeni wymiarów wyższych. Nie jest konieczne ograniczanie się do przestrzeni euklidesowych. W praktyce (parkietaż chodnika na zdjęciu) elementy parkietażu nie muszą być wielokątami.

Parkietaże często pojawiają się w architekturze (np. Alhambra) i twórczości plastycznej (np. Maurits Cornelis Escher).

Typy parkietaży płaszczyzny

Parkietaż okresowy

Istnieje dla niego grupa przekształceń płaszczyzny przeprowadzająca jego elementy na siebie.

Parkietaż foremny

Składa się z przystających wielokątów foremnych.

Parkietaż regularny

Parkietaż, w którego każdym wierzchołku spotyka się taka sama grupa figur (z dokładnością do obrotu).

Cechą dobrze charakteryzującą parkietaż regularny jest liczba i rodzaj wielokątów stykających się w danym wierzchołku. Jeśli w wierzchołkach spotykają się: trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny i kwadrat, to taki parkietaż jest typu (3, 4, 6, 4). Kolejność liczb odczytuje się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Skrócenie zapisu osiąga się przez zapis potęgowy: jeśli liczba $k$ wystąpi $n$ razy po kolei, to zapisuje się to symbolem $k^n.$

Rodzaje parkietaży

Okresowe parkietaże foremne regularne (platońskie)

Istnieją trzy takie parkietaże: $6^3,4^4,3^6.$

• 
  Parkietaż $3^6$
• 
  Parkietaż $4^4$
• 
  Parkietaż $6^3$

Okresowe parkietaże półforemne regularne (archimedesowskie, półforemne)

Istnieje osiem takich parkietaży: $(3^4,6),(3^3,4^2),(4,8^2),(4,6,12),(3,4,6,4),(3^2,4,3,4),(3,12^2),(3,6,3,6).$ Z tych samych wielokątów można budować różne parkietaże.

• 
  Parkietaż $(3^4,6)$
• 
  Parkietaż $(3^3,4^2)$
• 
  Parkietaż $(4,8^2)$
• 
  Parkietaż $(4,6,12)$
• 
  Parkietaż $(3,4,6,4)$
• 
  Parkietaż $(3^2,4,3,4)$
• 
  Parkietaż $(3,12^2)$
• 
  Parkietaż $(3,6,3,6)$

Okresowe parkietaże półforemne nieregularne

Przykładem jest parkietaż Johnsona, który ma dwa rodzaje wierzchołków: $3^6$ oraz $(3^2,4,12).$

• 
  Parkietaż o wierzchołkach typu $3^6$ oraz $(3^2,4,12)$

Okresowe parkietaże nieregularne

Przykładem może być parkietaż złożony z tylko jednego pięciokąta (potocznie zwanego „sfinksem”). Wielokąt ten jest na razie jedynym znanym pięciokątem, który można podzielić na 4 pięciokąty wzajemnie przystające do siebie i zarazem podobne do pięciokąta wyjściowego.

Parkietaże nieokresowe

Przykładem jest parkietaż Pearsona zbudowany z dwóch typów złotych deltoidów: wypukłego (kąty: 72°, 72°, 72°, 144°) oraz wklęsłego (kąty: 36°, 36°, 72°, 216°). Parkietażami tego typu są także parkietaże Penrose’a.

Przykład parkietażu Penrose'a

Zobacz też

• Teselacja (w grafice komputerowej)
• Diagram Woronoja
• Złożenie Miura

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Szablon:Cytuj stronę