Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki

Plik:Great rhombicosidodecahedron.png

Bryła w trójwymiarze

Szablon:Spis treści Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki – jeden z wielościanów archimedesowych, zbudowany z 62 ścian – 30 kwadratowych, 20 sześciokątnych i 12 dziesięciokątnych, ma 120 wierzchołków i 180 krawędzi.

Oznaczany jest symbolem Schläfliego $t\left\{\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right\}$ i symbolem Wythoffa $235|.$ Wielościanem dualnym do tej bryły jest dwudziestościan szóstkowy.

Wśród wszystkich wielościanów archimedesowych o tej samej długości krawędzi, ta bryła ma największą objętość i pole powierzchni.

Wielościan jest zonościanem (ang. zonohedron).

Bryłę tę skonstruował przy pomocy origami E. K. Herrstrom – konstrukcja wykorzystuje 900 jednostek sonobè.

Plik:Truncatedicosidodecahedron.gif

Obracająca się bryła

Wzory i właściwości

Niech $a$ będzie długością krawędzi bryły.

• Pole powierzchni całkowitej

$S=30(1+\sqrt{3}+\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2$

• Objętość

Plik:Truncated icosidodecahedron flat.svg

Siatka bryły

$V=(95+50\sqrt{5})a^3\approx 206,803a^3$

• Promień kuli opisanej

$R_1=\frac{a}{2}\sqrt{31+11\sqrt{5}}\approx 3,80a$, z czego wynika, że objętość kuli opisanej na bryle wynosi $\frac{4\pi {R_1}^3}{3},$ czyli około $230,28a^3$

• Promień kuli wpisanej

$R_2=\frac{a}{2}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\approx 3,44a,$ a więc objętość tej kuli można wyrazić wzorem $\frac{4\pi {R_2}^3}{3},$ i wynosi ona w przybliżeniu $170,65a^3$

• Dystans normalny od środka bryły do jej ścian możemy wyrazić następującymi wzorami:
  • dla ściany kwadratowej $\frac{3+2\sqrt{5}a}{2}\approx 3,74a$
  • dla ściany sześciokątnej $\frac{\sqrt{3}+(2+\sqrt{5})a}{2}\approx 3,67a$
  • dla ściany dwunastokątnej $R_2=\frac{a}{2}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\approx 3,44a$

• Niech $\rho$ oznacza odległość od krawędzi do środka bryły. Opiszmy na bryle dwunastościan, i oznaczmy jego krawędź jako $b,$ dwudziestościan, którego krawędź oznaczymy jako $c$ oraz trzydziestościan rombowy, którego przekątna dłuższej ściany będzie posiadała oznaczenie $d.$ Zachodzą wtedy następujące równości:
  • $\frac{a}{\rho }=\sqrt{2}\frac{\mathrm{tg}18^{\circ }}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{10-4\sqrt{5}}{15}}$
  • $\frac{a}{R_1}=2\sqrt{\frac{31-12\sqrt{5}}{241}}$
  • $\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{10}$
  • $\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{6}$
  • $\frac{a}{d}=\frac{7-\sqrt{5}}{22}$

Powiązane obiekty

Z bryłą powiązanych jest wiele innych obiektów geometrycznych: wielościany z [5, 3] grupy Coxetera, parkietaże: euklidesowy, hiperboliczny, sferyczny. Istnieją też różne rzuty bryły i owych parkietaży. Z bryła powiązany jest graf.

Graf

Ilustracja przedstawia graf zero-symetryczny utworzony z bryły.

Plik:Truncated icosidodecahedral graph.png

Powiązane wielościany i parkietaże

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [5, 3] grupą Coxetera.

Wielościan								Parkietaż euklidesowy	Parkietaż hiperboliczny
Diagram Coextera	[5, 3]	t[5, 3]	r[5, 3]	t[3, 5]	[3, 5]	rr[5, 3]	tr[5, 3]	[6, 3]	[7, 3]	[8, 3]
Odpowiadający obiekt	Plik:Uniform polyhedron-53-t0.pngDwunastościan	Błąd przy generowaniu miniatury: Dwunastościan ścięty	Plik:Uniform polyhedron-53-t1.pngDwudziesto-dwunastościan	Plik:Uniform polyhedron-53-t12.pngDwudziestościan ścięty	Plik:Uniform polyhedron-53-t2.pngDwudziestościan	Plik:Uniform polyhedron-53-t02.pngDwudziesto-dwunastościan rombowy mały	Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki	Plik:Uniform polyhedron-63-t012.png	Plik:H2 tiling 237-7.png	Plik:H2 tiling 238-7.png

Rzuty ortogonalne

Przykłady kilku rzutów ortogonalnych dwudziesto-dwunastościanu rombowego wielkiego.Wycentrowane na wierzchołek, trzy typy krawędzi oraz trzy rodzaje ścian bryły.

Rzuty ortogonalne bryły
Rzut wycentrowany na	Wierzchołek	Krawędzie 4-6	Krawędzie 4-10	Krawędzie 6-10	Ściana kwadratowa	Ściana sześciokątna	Ściana dziesięciokątna
Obraz	Plik:Dodecahedron t012 v.png	Plik:Dodecahedron t012 e46.png	Plik:Dodecahedron t012 e4x.png	Plik:Dodecahedron t012 e6x.png	Plik:Dodecahedron t012 f4.png	Plik:Dodecahedron t012 A2.png	Plik:Dodecahedron t012 H3.png

Parkietaże sferyczne i diagramy Schlegela

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki może być też ukazany jako element parkietażu sferycznego oraz podobnego diagramu Schlegela.

Bryła jako parkietaż sferyczny i diagram Schlegela, oraz rzuty tych obiektów
	Rzut ortograficzny	R. stereograficzny wycentrowany na:
		dziesięciokąt	sześciokąt	kwadrat
Jako parkietaż sferyczny	Plik:Uniform tiling 532-t012.png	Plik:Truncated icosidodecahedron stereographic projection decagon.png	Plik:Truncated icosidodecahedron stereographic projection hexagon.png	Plik:Truncated icosidodecahedron stereographic projection square.png
Jako diagram Schlegela	Błąd przy generowaniu miniatury:	Plik:Truncated icosidodecahedron schlegel-decacenter-color.png	Plik:Truncated icosidodecahedron schlegel-hexacenter-color.png	Plik:Truncated icosidodecahedron schlegel-squarecenter-color.png

Linki zewnętrzne

Informacje o bryle

• Dogłębna analiza autorstwa H.Ch. Rajpoota
• http://polyhedra.mathmos.net/entry/greatrhombicosidodecahedron.html – Informacje przeglądowe, stosunki krawędzi do opisanych brył
• http://bulatov.org/polyhedra/uniform/u72.html – Podstawowe informacje i ilustracja

Strony z siatką bryły do wydruku

• http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=rhombicosidodecahedron
• http://www.maths-pro.com/New%20Polyhedra%20books/Polyhedra%20book%202012%20GPP%20-%20V6.pdf Plik w formacie PDF, siatki i porady umieszczone są na stronach 31, 33, 85