Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa

Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa – pierwszy przykład przestrzeni Banacha, która nie jest WCG, ale jej przestrzeń sprzężona jest WCG. Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwisk W.B. Johnsona i J. Lindenstrussa, którzy podali jej konstrukcję w 1974.

Konstrukcja

Niech $ℬ$ będzie rodziną mocy continuum złożoną z podzbiorów zbioru liczb naturalnych o tej własności, że dla dowolnych dwóch różnych $A,B\in ℬ$ część wspólna $A\cap B$ jest skończona. Niech $V$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$ generowaną przez podprzestrzeń c₀ oraz rodzinę funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny $ℬ.$ Każdy element $x$ przestrzeni $V$ ma zatem jednoznaczne przedstawienie w postaci skończonej sumy

Szablon:Wzór

dla pewnych $y\in c_0,$ zbiorów $A_1,\dots ,A_n\in ℬ$ oraz skalarów $a_{A_1},\dots ,a_{A_n}.$ Wzór

$\Vert x{\Vert }_{{\mathrm{J}\mathrm{L}}_2}=\max \{\Vert x{\Vert }_{c_0},(\sum _{k=1}^n|a_{A_k}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}\}$

określa normę w przestrzeni $V.$ Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2$ to uzupełnienie przestrzeni unormowanej $(V,\Vert \cdot {\Vert }_{{\mathrm{J}\mathrm{L}}_2}).$ Powyższa definicja zależy od wyboru rodziny $ℬ$ jednak niezależenie od doboru $ℬ,$ przestrzeń ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2$ nie będzie WCG w przeciwieństwie do przestrzeni sprzężonej ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2^{*}.$ Rzeczywiście, przestrzeń $c_0$ jest (izometryczna z) podprzestrzenią ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2.$ Niech $x\in V$ będzie dany wzorem Szablon:LinkWzór. Wówczas

$\Vert x{\Vert }_{{\mathrm{J}\mathrm{L}}_2}⩾(\sum _{k=1}^n|a_{A_k}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}=\Vert (a_A{)}_{A\in ℬ}{\Vert }_{{\ell }_2(𝔠)}.$

Ponieważ każde dwa zbiory $A,B\in ℬ$ mają skończoną część wspólną, istnieje taki element $z$ o skończonym nośniku (czyli $z\in c_0$), że

$\Vert z+\sum _{k=1}^n{a}_{A_k}{\mathrm{𝟏}}_{A_k}\Vert =\underset{i⩽n}{\max }|a_{A_i}|,$

czyli norma ilorazowa klasy abstrakcji $x$ w ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2/c_0$ wynosi

$\Vert [x]{\Vert }_{{\mathrm{J}\mathrm{L}}_2/c_0}=\Vert (a_A{)}_{A\in ℬ}{\Vert }_{{\ell }_2(𝔠)}.$

Przechodząc do elementów w uzupełnieniu $V,$ można wywnioskować, że

${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2/c_0\cong {\ell }_2(𝔠).$

Przestrzeń sprzężona do JL₂

Dla każdej liczby naturalnej $n$ funkcjonał $e_n$ określony wzorem

$⟨e_n,x⟩=x(n)(x\in {\mathrm{J}\mathrm{L}}_2)$

jest liniowy i ciągły. Ponadto, zbiór $\{e_n:n=1,2,3,\dots \}$ jest liniowo gęsty w ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2^{*},$ czyli *-słaba topologia w ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2^{*}$ jest ośrodkowa. Ośrodkowość ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2^{*}$ w *-słabej topologii wynika również z faktu, że operator inkluzji $T:{\mathrm{J}\mathrm{L}}_2\to {\ell }_{\mathrm{\infty }}$ jest ciągły oraz operator sprzężony $T^{*}:{\ell }_{\mathrm{\infty }}^{*}\to {\mathrm{J}\mathrm{L}}_2^{*}$ jest ciągły względem *-słabych topologii. Istotnie, ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2^{*}$ jest obrazem poprzez $T^{*}$ przestrzeni ${\ell }_{\mathrm{\infty }}^{*},$ która jest ośrodkowa w *-słabej topologii (z twierdzenia Goldstine’a wynika, że ${\ell }_1$ jest *-słabo gęste w ${\ell }_{\mathrm{\infty }}^{*};$ z ośrodkowości ${\ell }_1$ wynika ośrodkowość ${\ell }_{\mathrm{\infty }}^{*}$ w *-słabej topologii). W szczególności, każdy zbiór słabo zwarty w ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2$ jest ośrodkowy. Oznacza to, że ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2$ nie jest WCG, gdyż jest nieośrodkowa ponieważ zawiera nieprzeliczalny zbiór dyskretny (na przykład, rodzina funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny ℬ jest nieprzeliczalnym zbiorem dyskretnym).

Istnieje izomorfizm

Szablon:Wzór

Rzeczywiście, niech

$0⟶c_0⟶{\mathrm{J}\mathrm{L}}_2⟶{\ell }_2(𝔠)⟶0$

będzie krótkim ciągiem dokładnym, w którym $c_0\to {\mathrm{J}\mathrm{L}}_2$ jest operatorem inkluzji oraz ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2\to {\ell }_2(c)$ jest przektszałceniem ilorazowym na ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2/c_0\cong {\ell }_2(c).$ Ciąg dualny

$0⟶{\ell }_2(𝔠)⟶{\mathrm{J}\mathrm{L}}_2^{*}⟶{\ell }_1⟶0$

jest również dokładny. Ponieważ ${\ell }_1$ jest projektywną przestrzenią Banacha, ciąg ten się rozszczepia, tzn. zachodzi wzór Szablon:LinkWzór. Przestrzeń ${\mathrm{J}\mathrm{L}}_2^{*},$ jako suma dwóch przestrzeni WCG (przestrzeń ośrodkowej i przestrzeni refleksywnej), jest WCG.

Bibliografia

• J.M.F. Castillo, M. González, Three-Space Problems in Banach Space Theory, Lecture Notes in Math., vol. 1667, Springer, Berlin (1997).