Ciąg dokładny

Szablon:Spis treści Niech $\{G_i\}$ będzie ciągiem grup oraz ${\phi }_i:G_i\to G_{i+1}$ – ciągiem homomorfizmów:

$\dots \stackrel{{\phi }_{n-1}}{\to }{G}_n\stackrel{{\phi }_n}{\to }{G}_{n+1}\stackrel{{\phi }_{n+1}}{\to }\dots$

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

$\mathrm{i}\mathrm{m}{\phi }_n=\ker {\phi }_{n+1}$,

gdzie:

$\mathrm{i}\mathrm{m}{\phi }_n=\{\phi (g):g\in G_n\},$

$\ker {\phi }_{n+1}=\{g\in G_{n+1}:\phi (g)=e_{n+2}\},$

$e_n$ jest elementem neutralnym grupy $G_n.$

Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań.

Kategorie abelowe

Ciąg

$\dots \stackrel{{\alpha }_{n-1}}{\to }{A}_n\stackrel{{\alpha }_n}{\to }{A}_{n+1}\stackrel{{\alpha }_{n+1}}{\to }{A}_{n+2}\dots$

obiektów kategorii abelowej $𝔄$ i morfizmów ${\alpha }_n,$ takich że

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{\alpha }_{n+1}=\mathrm{I}\mathrm{m}{\alpha }_n$

jest nazywany ciągiem dokładnym.

Przykłady

• Niech $\mathrm{1}$ oznacza grupę trywialną (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:

$\mathrm{1}\to G\stackrel{\phi }{\to }H$ oznacza, że $\phi$ jest monomorfizmem, bo $\ker \phi =1,$ gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy $H,$

$G\stackrel{\phi }{\to }H\to \mathrm{1}$ oznacza, że $\phi$ jest epimorfizmem, bo $\mathrm{i}\mathrm{m}\phi =H,$

$\mathrm{1}\to G\stackrel{\phi }{\to }H\to \mathrm{1}$ oznacza, że $\phi$ jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.

• Niech grupa $G$ zawiera nietrywialną podgrupę normalną $G_0.$ Wtedy ciąg dokładny

$1\to G_0\to G\to G_1\to 1$

nazywa się rozszerzeniem grupy $G_1$ za pomocą grupy $G_0.$ Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy $G_0$ oraz faktorgrupy $G_1=G/G_0$.

• Kompleks łańcuchowy

$\dots \leftarrow K_{n-1}\stackrel{{\partial }_n}{\leftarrow }{K}_n\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\leftarrow }{K}_{n+1}\leftarrow \dots$

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $n$ spełniona jest równość

$\ker ({\partial }_n)=\mathrm{im}({\partial }_{n+1}),$

to znaczy, gdy dla wszystkich $n$ zachodzi równość $H_{n}K=0.$

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami).

• Dla przekształcenia łańcuchowego $f:K_{\bullet }\to L_{\bullet }$ kategorii $\partial 𝒜𝒢$ kompleksy $L_{\bullet },$ stożek $C{f}_{\bullet }$ i zawieszenie $K_{\bullet }^{+}$ ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:

$0\to L_{\bullet }\stackrel{\iota }{\to }C{f}_{\bullet }\stackrel{\kappa }{\to }{K}_{\bullet }^{+}\to 0,$

gdzie $\iota y=(y,0)$ i $\kappa (y,x)=x.$

Zobacz też

• ciąg spektralny

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę