Macierze Pauliego

Wolfgang Pauli (1900–1958)

Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej:

${\sigma }_1=\left[\begin{array}{ccc}0& & 1\\ 1& & 0\end{array}\right],$

${\sigma }_2=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right],$

${\sigma }_3=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right].$

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń ${\sigma }_x\equiv {\sigma }_1,$ ${\sigma }_y\equiv {\sigma }_2$ i ${\sigma }_z\equiv {\sigma }_3.$

Czasem używa się również symbolu σ₀ na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru $2\times 2,$ choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem $I,$ tj.

$I=\left[\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & 1\end{array}\right].$

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta:

• w zespolonej przestrzeni Hilberta macierzy zespolonych wymiaru 2×2 oraz
• w rzeczywistej przestrzeni Hilberta zespolonych macierzy Hermitowskich o wymiarze $2\times 2.$

Właściwości algebraiczne

Niech $I$ oznacza macierz jednostkową.

(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

$\begin{array}{ccc}\det ({\sigma }_i)& =& -1,\\ \mathrm{Tr}({\sigma }_i)& =& 0,\end{array}$

gdzie $i=1,2,3.$

(2) Iloczyny macierzy Pauliego

a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& =I,\\ {\sigma }_1{\sigma }_2& =i{\sigma }_3,\\ {\sigma }_2{\sigma }_1& =-i{\sigma }_3,\\ {\sigma }_2{\sigma }_3& =i{\sigma }_1,\end{array}$

itd.

b) Ogólnie mamy:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_i{\sigma }_j& =I\cdot {\delta }_{ij}+i\sum _k{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k\end{array},$

gdzie $i,j=1,2,3.$

(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.

$\begin{array}{cc}[{\sigma }_1,{\sigma }_2]& =2i{\sigma }_3,\\ [{\sigma }_2,{\sigma }_3]& =2i{\sigma }_1,\\ [{\sigma }_3,{\sigma }_1]& =2i{\sigma }_2,\\ [{\sigma }_1,{\sigma }_1]& =0,\\ \{{\sigma }_1,{\sigma }_1\}& =2I,\\ \{{\sigma }_1,{\sigma }_2\}& =0,\end{array}$

gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:

$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]={\sigma }_i{\sigma }_j-{\sigma }_j{\sigma }_i,$

$\{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}={\sigma }_i{\sigma }_j+{\sigma }_j{\sigma }_i.$

Ogólnie mamy:

$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=2i\sum _k{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k,$

$\{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}=2{\delta }_{ij}I,$

gdzie:

${\epsilon }_{ijk}$ – symbol Leviego-Civity,

${\delta }_{ij}$ – delta Kroneckera.

(4) Inna własność macierzy Pauliego:

$-i{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=I.$

Wartości i wektory własne

(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.

(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):

– dla macierzy ${\sigma }_x\equiv {\sigma }_1:$

${\psi }_{x+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}),{\psi }_{x-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1}),$

– dla macierzy ${\sigma }_y\equiv {\sigma }_2:$

${\psi }_{y+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{i}),{\psi }_{y-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-i}),$

– dla macierzy ${\sigma }_z\equiv {\sigma }_3:$

${\psi }_{z+}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}),{\psi }_{z-}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}).$

Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarny

(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:

$\overrightarrow{\sigma }={\sigma }_1\hat{x}+{\sigma }_2\hat{y}+{\sigma }_3\hat{z},$

gdzie $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ – wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Niech dany będzie wektor $\overrightarrow{a},$ taki że

$\overrightarrow{a}=a_1\hat{x}+a_2\hat{y}+a_3\hat{z}.$

Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor $\overrightarrow{a}$ ma postać:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma }=a_1{\sigma }_1+a_2{\sigma }_2+a_3{\sigma }_3.$

(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.

$a_1{\sigma }_1={\sigma }_1{a}_1=\left[\begin{array}{cc}0& a_1\\ a_1& 0\end{array}\right].$

Twierdzenia

$(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma })(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\sigma })=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})I+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})(1)$

oraz

$e^{i(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma })}=I\cos a+i(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })\sin a,(2)$

gdzie:

• $\overrightarrow{a}=a\hat{n},$
• $\hat{n}$ – wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.

Dowód (#1)

$\begin{array}{cc}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma })(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\sigma })& =a_i{\sigma }_i{b}_j{\sigma }_j\\ & =a_i{b}_j{\sigma }_i{\sigma }_j\\ & =a_i{b}_j({\delta }_{ij}\cdot I+i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k)\\ & =a_i{b}_j{\delta }_{ij}\cdot I+i{\sigma }_k{\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j\\ & =(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\cdot I+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\end{array}$

Dowód (#2)

Najpierw zauważmy równość

$(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n}=I.$

(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji).

Dla pozostałych:

$(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n+1}=\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }.$

Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:

$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^n{x}^n}{n!}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}.\end{array}$

Kiedy podstawimy $x=a(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }),$

otrzymamy

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(a\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(a\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$=I\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{a}^{2n}}{(2n)!}+i(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{a}^{2n+1}}{(2n+1)!}.$

Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,

$e^{ia(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })}=I\cos a+i(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })\sin a.$

Informatyka kwantowa

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako $X,Y,Z$ kolejno dla ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3.$

Zobacz też

• równanie Pauliego
• spinor Pauliego

Inne:

• algebra Liego
• kwaterniony
• macierze Diraca
• wektor Blocha

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Macierze Pauliego Szablon:Lang w encyklopedii PlanetMath
• Szablon:Otwarty dostęp Pauli matrices Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].