Równanie Pauliego

Równanie Pauliego – zaproponowane przez Wolfganga Pauliego w 1927 r. uogólnienie równania Schrödingera na przypadek cząstki o spinie 1/2 (np. elektronu, kwarku, atomu srebra itp.). Równanie to teoretycznie uzasadnia wynik eksperymentu Sterna-Gerlacha, który pokazał, że atomy srebra w postaci gazowej, przechodząc prostopadle do linii pola silnego magnesu, tworzyły dwie odseparowane wiązki – i to niezależnie od kierunku ustawienia pola magnetycznego względem wiązki wchodzącej do układu pomiarowego. Identyczne wyniki uzyskano dla innych cząstek o spinie 1/2. Według klasycznej fizyki oddziaływanie takie powinno prowadzić do w miarę jednorodnego rozmycia wiązki wzdłuż kierunku pola.

Równanie Pauliego jest równaniem nierelatywistycznym i wprowadza spin w sposób fenomenologiczny, tj. tak, by uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów. Odpowiednikiem równania Pauliego jest relatywistycznie niezmiennicze równanie Diraca, które uzasadnia istnienie spinu jako wymóg Lorentzowskiej niezmienniczości równań fizyki.

Hamiltonian cząstki bez spinu w polu elektromagnetycznym

Hamiltonian równania Schrödingera dla cząstki o ładunku $q$ i masie m oddziałującej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym ma postać:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2+q\phi ,$

gdzie:

$\overrightarrow{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }=-i\hslash (\frac{\partial }{{\partial }_x},\frac{\partial }{{\partial }_y},\frac{\partial }{{\partial }_z})$ – operator całkowitego pędu cząstki,

$\overrightarrow{A}=(A_x,A_y,A_z)$ oraz $\varphi$ – potencjały wektorowy i skalarny pola el-m.

Równanie to opisuje poprawnie ruch w polu elektromagnetycznym cząstek, które nie posiadają spinu i własnego momentu magnetycznego.

Hamiltonian cząstki ze spinem w polu el-m

Wektor operatorów macierzy sigma

Niektóre cząstki kwantowe posiadają obok ładunku także własny moment magnetyczny (np. elektrony, kwarki, niektóre atomy). Aby opisać oddziaływanie takich cząstek z polem el-m Pauli uzupełnił powyższy hamiltonian o wektor operatorów macierzowych

$\overrightarrow{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$

zbudowany z macierzy (zwanych macierzami Pauliego)

${\sigma }_x=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],{\sigma }_y=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right],{\sigma }_z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

w następujący sposób:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}){)}^2+q\phi \hat{I},$

gdzie:

$\hat{I}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ – macierz jednostkowa (działa jak operator identycznościowy)

znak $\cdot$ oznacza mnożenie skalarne wektorów (w tym wektorów, których składowe są operatorami, jak w tym wypadku).

Wykonując przekształcenia algebraiczne, powyższe równanie upraszcza się do postaci

$\hat{H}=\frac{1}{2m}[(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2-q\hslash \overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{B}]+q\varphi \hat{I},$

gdzie $\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$ – wektor pola magnetycznego.

Wykorzystuje się przy tym tożsamość Pauliego:

$(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}),$

gdzie $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ – dowolne wektory.

Uwaga: Często opuszcza się znak operatora $\hat{I}$ w zapisie równania Pauliego (i innych równań mechaniki kwantowej) – wtedy w zapisie hamiltonianu mamy formalnie sumę operatora macierzowego 2 × 2 i członu skalarnego – domyślnie jest on mnożony przez macierz jednostkową 2 × 2. W dalszej części artykułu znak $\hat{I}$ będzie opuszczany.

Operator spinowego momentu magnetycznego

Wprowadzenie operatora $\overrightarrow{\sigma }$ do hamiltonianu oznacza uzupełnienie go o dodatkowy człon $-\frac{q\hslash }{2m}\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{B},$ który jest operatorem odpowiadającym klasycznej energii potencjalnej oddziaływania między magnetycznym momentem dipolowym ${\overrightarrow{\mu }}_s$ cząstki a zewnętrznym polem magnetycznym $\overrightarrow{B}.$ W przypadku fizyki klasycznej energia ta ma postać

$\mathrm{\Delta }U=-{\overrightarrow{\mu }}_s\cdot \overrightarrow{B},$

gdzie ${\overrightarrow{\mu }}_s$ – wektor momentu magnetycznego.

Można nadać analogiczną postać operatorowi energii w równaniu Pauliego, wprowadzając operator spinowego momentu magnetycznego

${\overrightarrow{\mu }}_s={\mu }_s\overrightarrow{\sigma },$

przy czym ${\mu }_s$ oznacza wartość momentu magnetycznego

${\mu }_s=\frac{q\hslash }{2m}.$

Operator Hamiltona przyjmie wtedy postać

$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2+(-{\overrightarrow{\mu }}_s\cdot \overrightarrow{B})+q\varphi .$

Klasycznemu wektorowi momentu magnetycznego odpowiada więc w równaniu Pauliego wektorowy operator macierzowy 2 × 2 o postaci ${\overrightarrow{\mu }}_s={\mu }_s\overrightarrow{\sigma },$ ze względu na wektorowo-macierzową postać operatora $\overrightarrow{\sigma }.$ Hamiltonian ma więc tu postać macierzy 2 × 2.

Hamiltonian w takiej postaci gwarantuje, że rozwiązania równania Pauliego posiadają zawsze dwie wartości własne niezależnie od tego, jak przyjmie się osie układu współrzędnych w zapisie wektorów pola el-m (co spełnia wymóg, iż prawa fizyki powinny mieć formę niezależną od układu współrzędnych, w którym zapisze się je).

Równanie Pauliego zależne od czasu

Równanie Pauliego w postaci zależnej od czasu otrzymuje się, wstawiając powyżej opisany hamiltonian do równania Schrödingera zależnego od czasu, które ma postać

$\hat{H}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t).$

Stąd otrzymuje się równanie Pauliego

$[\frac{1}{2m}(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2+(-{\overrightarrow{\mu }}_s\cdot \overrightarrow{B})+q\varphi ]\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t),$

gdzie:

$m$ – masa cząstki,

$q$ – ładunek cząstki,

$\overrightarrow{r}$ – wektor położenia cząstki,

$\overrightarrow{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$ – wektorowy operator pędu,

$\overrightarrow{A}$ – potencjał wektorowy pola el-m,

$\varphi$ – potencjał skalarny pola el-m,

${\overrightarrow{\mu }}_s={\mu }_s\overrightarrow{\sigma }$ – wektorowy operator momentu magnetycznego,

$\overrightarrow{B}$ – wektor indukcji pola magnetycznego.

Rozwiązaniami oryginalnego równania Schrödingera są skalarne funkcje falowe $\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t).$ W równaniu Pauliego jest inaczej: ze względu na to, że hamiltonian ma tu postać macierzy 2 × 2, rozwiązaniami równania Pauliego są funkcje falowe w postaci wektora o dwóch składowych (tzw. spinory):

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=\left[\begin{array}{c}{\psi }_{+}(\overrightarrow{r},t)\\ {\psi }_{-}(\overrightarrow{r},t)\end{array}\right],$

gdzie:

• ${\psi }_{+}(\overrightarrow{r},t)$ – funkcja falowa stanu spinowego cząstki „zgodnego” z kierunkiem pola $\overrightarrow{B}$ (stan $|+⟩$ według notacji Diraca),
• ${\psi }_{-}(\overrightarrow{r},t)$ – funkcja falowa stanu spinowego cząstki „przeciwnego” do pola (stan $|-⟩$ według notacji Diraca).

Gęstość prawdopodobieństwa

Znając funkcje falowe ${\psi }_{+}(\overrightarrow{r},t)$ oraz ${\psi }_{-}(\overrightarrow{r},t),$ łatwo obliczyć gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu $\overrightarrow{r}$ w chwili $t$ w stanach spinowych $|+⟩$ oraz $|-⟩$

${\rho }_{+}={\psi }_{+}^{*}(\overrightarrow{r},t){\psi }_{+}(\overrightarrow{r},t)\equiv |{\psi }_{+}(\overrightarrow{r},t){|}^2$

${\rho }_{-}={\psi }_{-}^{*}(\overrightarrow{r},t){\psi }_{-}(\overrightarrow{r},t)\equiv |{\psi }_{-}(\overrightarrow{r},t){|}^2,$

gdzie $*$ – sprzężenie zespolone funkcji.

Wynik ten oznacza, że gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu $\overrightarrow{r}$ w stanie spinowym $|+⟩$ oraz $|-⟩$ będą zmieniać się w czasie.

Całkowitą gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu $\overrightarrow{r}$ w chwili $t$ niezależnie od jej stanu spinowego powinna być równa sumie prawdopodobieństw znalezienia cząstki w tym położeniu w stanie spinowym $|+⟩$ oraz w stanie spinowym $|-⟩.$ Aby uzyskać taki wynik trzeba przyjąć definicję nieco inną niż powyższe definicje ${\rho }_{+},{\rho }_{-}:$

$\rho (\overrightarrow{r},t)=\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t{)}^{†}\cdot \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t),$

gdzie:

${\mathrm{\Psi }}^{†}=[{\psi }_{+}^{*},{\psi }_{-}^{*}]$ – tzw. sprzężenie hermitowskie wektora $\mathrm{\Psi }.$

W definicji istotna jest kolejność czynników: ${\mathrm{\Psi }}^{†}$ musi być przed $\mathrm{\Psi },$ gdyż mamy tu mnożenie wektorów w postaci wiersza i kolumny i tylko dla takiej kolejności mnożenie da w wyniku skalar. (W analogicznym wyrażeniu na gęstość prawdopodobieństwa dla równania Schrödingera funkcja falowa jest skalarem, stąd kolejność mnożenia nie ma znaczenia).

Wykonując obliczenia, otrzymuje się

$\rho (\overrightarrow{r},t)=[{\psi }_{+}^{*}(\overrightarrow{r},t),{\psi }_{-}^{*}(\overrightarrow{r},t)]\cdot \left[\begin{array}{c}{\psi }_{+}(\overrightarrow{r},t)\\ {\psi }_{-}(\overrightarrow{r},t)\end{array}\right]=|{\psi }_{+}(\overrightarrow{r},t){|}^2+|{\psi }_{-}(\overrightarrow{r},t){|}^2.$

W ogólnym przypadku powyższa gęstość prawdopodobieństwa będzie zależeć od czasu (np. gdy elektron znajduje się w polu elektromagnetycznym zmieniającym się w czasie).

Równanie Pauliego niezależne od czasu

W przypadku procesów stacjonarnych, tzn. gdy energia cząstki nie ulega zmianie w czasie (np. ruch elektronu w stałych polach magnetycznym lub elektrycznym), równanie Pauliego upraszcza się do tzw. postaci niezależnej od czasu

$[\frac{1}{2m}(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2+(-{\overrightarrow{\mu }}_s\cdot \overrightarrow{B})+q\varphi ]\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})=E\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r}),$

gdzie:

$E$ – stała energia cząstki,

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})$ – część funkcji falowej zależna tylko od zmiennych przestrzennych.

W równaniu tym zamiast operatora różniczkowania po czasie pojawia się stała $E.$ Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyznaczenia możliwych (dozwolonych) i stałych w czasie wartości energii $E_n$ oraz odpowiadających im funkcji własnych hamiltonianu

${\mathrm{\Psi }}_n(\overrightarrow{r})=\left[\begin{array}{c}{\psi }_{+,n}(\overrightarrow{r})\\ {\psi }_{-,n}(\overrightarrow{r})\end{array}\right],n=0,1,\dots ,$

zaś funkcje falowe będące rozwiązaniami równania Pauliego zależnego od czasu mają teraz postać iloczynu

${\mathrm{\Psi }}_n(\overrightarrow{r},t)=e^{\frac{i{E}_n}{\hslash }t}{\mathrm{\Psi }}_n(\overrightarrow{r}),n=0,1,\dots$

Wykonując obliczenia gęstości prawdopodobieństw, otrzymuje się

${\rho }_{+}(\overrightarrow{r},t)=|{\psi }_{+}(\overrightarrow{r}){|}^2,$

${\rho }_{-}(\overrightarrow{r},t)=|{\psi }_{-}(\overrightarrow{r}){|}^2,$

$\rho (\overrightarrow{r},t)=|{\psi }_{+}(\overrightarrow{r}){|}^2+|{\psi }_{-}(\overrightarrow{r}){|}^2,$

Równanie Pauliego a eksperymenty

Równanie Pauliego można zapisać w postaci

$[\frac{1}{2m}(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2+q\varphi ]\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})+[(-{\overrightarrow{\mu }}_s\cdot \overrightarrow{B})]\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})=E\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})$

Pierwszy człon po lewej odpowiada za oddziaływanie cząstki naładowanej nie posiadającej spinu z polem elektromagnetycznym, zaś drugi człon odpowiada za oddziaływanie spinu z polem magnetycznym. Widać stąd, że:

Jeżeli $\overrightarrow{B}=0,$ to drugi człon znika i równanie Pauliego sprowadza się do równania Schrödingera.

Na podstawie drugiego członu równania Pauliego wyjaśniono teoretycznie:

• doświadczenie Sterna-Gerlacha – atomy srebra mające na powłoce walencyjnej niesparowane elektrony przyjmują dwa stany spinowe – zgodnie z polem magnetycznym lub przeciwnie, co powoduje rozszczepienie wiązki atomów na dwie, gdy przechodzi przez silne, niejednorodne pole magnetyczne
• anomalny efekt Zemana – tu drugi człon równania Pauliego odpowiada za rozszczepienie poziomów energetycznych elektronów w atomach/cząsteczkach, z powodu oddziaływania spinów elektronowych z zewnętrznym polem magnetycznym; na skutek tego następuje rozszczepienie linii widmowych

Zobacz też

• prąd prawdopodobieństwa w równaniu Pauliego
• równanie Diraca
• równanie Schrödingera

Bibliografia

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, Szablon:ISBN.