Operator Hilberta-Schmidta

Operator $A$ nazywamy operatorem Hilberta-Schmidta, jeśli jest on ograniczony na przestrzeni Hilberta oraz dla pewnej bazy ortonormalnej $\{a_n\}$ zachodzi:

$\mathrm{tr}|A{|}^2=\sum _n\Vert A{a}_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty },$

gdzie $\mathrm{tr}A$ jest śladem operatora $A,$ $\Vert A\Vert$ normą $A,$ a $|A|=\sqrt{A^{\star }A}.$

Wielkość $\mathrm{tr}|A{|}^2$ jest kwadratem tzw. normy Hilberta-Schmidta, oznaczanej jako $\Vert A{\Vert }_{HS}.$ Zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta na przestrzeni $H$ zapisuje się jako ${ℬ}_{HS}(H).$

Własności

• Norma Hilberta-Schmidta jest normą.
• Przestrzeń ${ℬ}_{HS}(H)$ jest przestrzenią Banacha.
• $\Vert A{\Vert }_{HS}=\Vert A^{\star }{\Vert }_{HS}.$
• $\Vert \alpha A{\Vert }_{HS}=|\alpha |\Vert A{\Vert }_{HS}.$
• $\Vert A+B{\Vert }_{HS}⩽\Vert A{\Vert }_{HS}+\Vert B{\Vert }_{HS}.$
• $\Vert A\Vert ⩽\Vert A{\Vert }_{HS}.$
• $A$ jest operatorem ograniczonym i $B\in {ℬ}_{HS}(H),$ to $\Vert AB{\Vert }_{HS}⩽\Vert A\Vert \Vert B{\Vert }_{HS}$ i $\Vert AB{\Vert }_{HS}⩽\Vert A\Vert \Vert B{\Vert }_{HS}.$
• ${ℬ}_{HS}(H)$ z iloczynem skalarnym $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}{A}^{\star }B$ jest przestrzenią Hilberta.
• Jeśli $A\in {ℬ}_{HS},$ to A jest operatorem zwartym na $H.$

Zobacz też

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń Hilberta
• operator zwarty

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę