Modularność

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Dopracować Szablon:Spis treści Modularność – własność obiektów algebraicznych pierwotnie zaobserwowana w teorii grup przez Richarda Dedekinda, stąd znana też jako prawo modularności Dedekinda, a następnie przeniesiona na grunt teorii pierścieni i teorii modułów. Naturalnym kontekstem okazała się jednak teoria krat – kraty spełniające tę własność nazwano kratami modularnymi.

Grupy, pierścienie i moduły

Szablon:Osobny artykuł Dla dowolnych podgrup $A,B,C$ danej grupy, dla których $A⩽C$ ($A$ jest podgrupą $C$), zachodzi własność modularności

$AB\cap C=A(B\cap C),$

gdzie mnożenie (oznaczone przez zestawienie) oznacza iloczyn kompleksowy; w notacji addytywnej z kolei własność tam ma postać

$(A+B)\cap C=A+(B\cap C),$

przy czym dodawanie $A+B$ oznacza grupę generowaną przez $A\cup B.$

W tej postaci jest ona prawdziwa dla pierścieni, czy modułów, gdy $A,B,C$ oznaczają ideały danego pierścienia lub podmoduły ustalonego modułu (przy założeniu $A$ jest ideałem/podmodułem $C;$ $A+B$ oznacza ideał/moduł generowany przez $A\cup B$). Wszystko co dotyczy modułów przenosi się bez zmian na przestrzenie liniowe.

Kraty

Dla krat własność tę można przedstawić w postaci tożsamości: dla dowolnych elementów $a,b,c$ zachodzi

$((a\wedge c)\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c).$

Można ją wyrazić w słabszej postaci jednego z aksjomatów rozdzielności: dla elementów $a,b,c,$ przy czym $a⩽c,$ zachodzi

$(a\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c)=a\vee (b\wedge c).$

Sformułowania są równoważne, gdyż $a⩽c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\wedge c=a.$ Jest to w istocie postać opisana w poprzedniej sekcji dla struktur algebraicznych.

Ponieważ w dowolnej kracie prawdziwa jest nierówność

$((a\wedge c)\vee b)\wedge c⩾(a\wedge c)\vee (b\wedge c),$

jako że tak $(a\wedge c)\vee b,$ jak i $c$ są większe lub równe od $a\wedge c$ oraz $b\wedge c,$ to prawo modularności jest równoważne

$((a\wedge c)\vee b)\wedge c⩽(a\wedge c)\vee (b\wedge c).$

Kraty rozdzielna, projektywna, czy metryczna są kratami modularnymi.

Przykłady

Wśród przykładów krat modularnych można wymienić kraty podgrup normalnych (permutowalnych/quasi-normalnych) danej grupy, krata podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej (podprzestrzeni danej przestrzeni rzutowej), krata ideałów danego pierścienia, czy krata podmodułów danego modułu. We wszystkich tych przypadkach porządkiem częściowym w tych kratach jest zawieranie. Kres dolny to część wspólna zbiorów, zatem kres dolny dowolnej liczby elementów zawsze istnieje; kres górny dowolnego zbioru $X$ elementów definiuje się jako $\bigvee X=\bigcap \{y:x\subseteq y\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{s}\mathrm{z}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}x\in X\}.$ W języku algebraicznym kres dolny to podgrupa, podprzestrzeń, ideał lub podmoduł generowane przez wszystkie elementy należące do sumy $\bigcup X.$

Niech $G$ będzie grupą, a $H$ oraz $K$ jej dwiema podgrupami zawartymi jedna w drugiej, dla których $H⩽K⩽G.$ Jeżeli $N$ jest podgrupą normalną w $G,$ to $NH=KN$ oraz $H\cap N=K\cap N,$ pociągają $H=K.$ Z prawa modularności wynika bowiem $H=H(H\cap N)=H(K\cap N)=K\cap NH=K\cap KN=K;$ założenie normalności $N$ jest niezbędne w celu zagwarantowania, że $NH=KN$ ma strukturę grupy (jako iloczyny półproste).

Zobacz też

• dziedzina Dedekinda
• dziedzina Prüfera
• grupa modularna (Iwasawy)
• lemat Zassenhausa
• podgrupa modularna

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Modular lattice Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].