Zasadnicze twierdzenie algebry

Zasadnicze twierdzenie algebry, podstawowe twierdzenie algebry – wspólna nazwa dwóch blisko powiązanych twierdzeń algebry i analizy zespolonej:

• każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek;
• stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego pierwiastków. Oznacza to, że każdy wielomian zespolony rozkłada się na czynniki liniowe – można go przedstawić jako ich iloczyn:

$f\in ℂ[X]\Rightarrow \mathrm{\exists }a,z_1,\dots ,z_n\in ℂ:f(z)=a(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_n).$

Drugie twierdzenie jest konsekwencją pierwszego i twierdzenia Bézouta. Oba można też wyrazić w języku algebry abstrakcyjnej: ciało liczb zespolonych $ℂ$ jest algebraicznie domknięte, a pierścień wielomianów zespolonych $ℂ[X]$ ma jednoznaczność rozkładu – należy do pierścieni GaussaSzablon:Fakt.

Twierdzenie to udowodnili na przełomie XVIII i XIX wieku Carl Friedrich Gauss i Jean-Robert Argand – ten pierwszy podał większość dowodu, a drugi go uzupełnił.

Uwaga

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia $n$ może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej $n.$ Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w $\pm \mathrm{\infty }$ są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia

Przed Gaussem dowody twierdzenia ogłaszało co najmniej sześciu innych matematyków: Jean le Rond d’Alembert (1746), Leonhard Euler (1749), Daviet de Foncenex, Joseph Louis Lagrange (1772), Pierre Simon de Laplace (1812) i James Wood. Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. W 1799 roku Carl Friedrich Gauss podał większość pierwszego poprawnego dowodu. Jego wywód również zawierał lukę, choć bardziej subtelną. Gauss podał cztery różne dowody w ciągu swojego życia. W 1926 roku Emil Artin i Otto Schreier podali pierwsze dowody algebraiczne.

Nazwa twierdzenia pojawiła się najpóźniej w drugiej połowie XIX wieku.

O dowodach

Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouchégo, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

• funkcje wielomianowe są ciągłe (na płaszczyźnie zespolonej);
• twierdzenie Weierstrassa o kresach: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $f$ jest rzeczywistą funkcją ciągłą na $X,$ to istnieją takie punkty $a,b\in X,$ że

$f(a)=\min \{f(x):x\in X\}$

oraz

$f(b)=\max \{f(x):x\in X\}.$

• domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej są zwarte.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a

• Twierdzenie Liouville’a: ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.

Niech $f$ będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian $f$ nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja $f$ jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego $M>0$ istnieje takie $R>0,$ że w zewnętrzu okręgu $|z|=R$ (inaczej mówiąc, dla $|z|>R$) spełniona jest nierówność $|f(z)|>M.$ Niech $M$ i $R$ będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian $f$ nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. $f(z)\ne 0$ dla każdej liczby zespolonej $z.$ Wówczas funkcja $g$ dana wzorem:

$g(z)=\frac{1}{f(z)}$

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla $|z|>R$ zachodzi nierówność:

$|g(z)|<\frac{1}{M},$

ponieważ $|f(z)|>M$ dla $|z|>R.$

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji $f$ w kole $|z|⩽R.$ Rozważmy funkcję

$z\mapsto |f(z)|,$

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte $|z|⩽R$ jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element $z_0,$ że:

$|f(z_0)|=\min \{|f(z)|:|z|⩽R\}>0.$

Wynika stąd, że:

$|g(z)|⩽\frac{1}{|f(z_0)|}.$

Możemy tym samym oszacować funkcję $g$ na całej płaszczyźnie:

$|g(z)|⩽\max \{\frac{1}{M},\frac{1}{|f(z_0)|}\}.$

Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że $g$ jest stała, ale wtedy:

$f(z)=\frac{1}{g(z)}$

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian $f$ ma pierwiastek zespolony.

Przykład innego dowodu

Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego

$v(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n,a_0\ne 0,a_n\ne 0,n⩾1$

istnieje taka liczba zespolona $x_0,$ że

$|v(x_0)|=0.$

Lemat 1

Jeśli $v$ jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

$(\mathrm{\exists }r>0)(\mathrm{\forall }x\in ℂ)(|x|>r\Rightarrow |v(x)|>|v(0)|=|a_0|)$

Dowód

Niech

$v(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$

Wówczas

$\begin{array}{ccc}|v(x)|& =& |x{|}^n|a_n+a_{n-1}(\frac{1}{x})+\dots +a_1(\frac{1}{x}{)}^{n-1}+a_0(\frac{1}{x}{)}^n|\\ & =& |x{|}^n|a_n+w(x)|\end{array},$

gdzie:

$w(y)=a_{n-1}y+\dots +a_0{y}^n.$

Z ciągłości funkcji wielomianowej $w$ oraz faktu, że $w(0)=0,$ dla pewnego $R>0$ spełniony jest warunek

$|w(y)|<\frac{|a_n|}{2}$

o ile tylko $|y|<R.$ Stąd, jeśli

$\frac{1}{|y|}>\frac{1}{R},$

to

$\left|w\left(\frac{1}{y}\right)\right|>\frac{|a_n|}{2}.$

Podstawiając $y=\frac{1}{x},$ dostajemy

$|w(x)|>\frac{|a_n|}{2}$

dla wszystkich $|x|>\frac{1}{R}.$

Ostatecznie:

$\begin{array}{ccc}|v(x)|& =& |x{|}^n|a_n+a_{n-1}(\frac{1}{x})+\dots +a_1(\frac{1}{x}{)}^{n-1}+a_0(\frac{1}{x}{)}^n|\\ & ⩾& |x{|}^n(|a_n|-|a_{n-1}(\frac{1}{x})+\dots +a_1(\frac{1}{x}{)}^{n-1}+a_0(\frac{1}{x}{)}^n|)\\ & ⩾& \frac{|a_n|}{2}|x{|}^n\end{array},$

oraz

$\frac{|a_n|}{2}|x{|}^n>|a_0|,$

gdy

$|x|>\sqrt[n]{\frac{2|a_0|}{|a_n|}}.$

Istnieje więc takie $r>0,$ że teza lematu jest spełniona, mianowicie:

$r=\max \{\frac{1}{R},\sqrt[n]{\frac{2|a_0|}{|a_n|}}\}.$

Lemat Cauchy’ego

Dla każdego wielomianu $v$ o współczynnikach zespolonych, dla którego $v(0)\ne 0,$ istnieje taka liczba $r>0,$ że minimum funkcji $|v(x)|$ jest osiągnięte w kole $|x|⩽r.$

Dowód

Niech

$v(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n,$

przy czym $a_0\ne 0.$ Niech ponadto

$r=\max \{\frac{1}{R},\sqrt[n]{\frac{2|a_0|}{|a_n|}}\}.$

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem $|x|⩽r$ spełniona jest nierówność $|v(x)|>|a_0|.$ Ponieważ koło $|x|⩽r$ jest zbiorem zwartym, funkcja $|v(x)|$ przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego $x_0$ spełniającego $|x_0|⩽r.$ W szczególności, $|v(x_0)|>|a_0|.$ Zatem $x_0$ jest również minimum globalnym funkcji $|v(x)|.$

Lemat 2

Niech $p$ będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek $p(0)\ne 0$ oraz niech $k$ będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej $a$ istnieje taka liczba zespolona $b,$ że

$|a+b^{k}p(b)|<|a|.$

Dowód

Niech $p$ i $k$ będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej $p$ wynika, iż istnieje takie $\delta >0,$ że

$|p(x)-p(0)|<\frac{|p(0)|}{2}$

o ile $|x|<\delta .$ Niech $a$ będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas

$\begin{array}{ccc}|a+x^{k}p(x)|& ⩽& |a+x^{k}p(0)|+|x{|}^k|p(x)-p(0)|\\ & ⩽& |a+x^{k}p(0)|+\frac{|x{|}^k|p(0)|}{2}.\end{array}$

Niech $b\in ℂ,$ wówczas

$p(0)b^k=-ta$ dla $0<t<1.$

Dla każdego $t>0$ istnieje $b,$ które spełnia powyższą równość.

$|a+p(0)b^k|=|a-ta|=(1-t)|a|$

$\frac{|p(0)||b{|}^k}{2}=\frac{t|a|}{2}$

Jeżeli $b$ jest takie, że $|b|<\delta$ to:

$|a+b^{k}p(b)|⩽(1-t)|a|+\frac{t|a|}{2}=(1-\frac{t}{2})|a|<|a|$

i twierdzenie zachodzi, ale żeby było $|b|<\delta ,$ to musi być $|b{|}^k<{\delta }^k,$ czyli:

$|p(0)||b{|}^k=t|a|<|p(0)||\delta {|}^k⟹t<\frac{|p(0)|{\delta }^k}{|a|}.$

Lemat d’Alemberta-Arganda

Niech $v$ będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek $v(0)=a_0\ne 0.$ Dla każdej liczby zespolonej $x_0,$ dla której $|v(x_0)|>0,$ istnieje taka liczba $y_0,$ że

$|v(y_0)|<|v(x_0)|.$

Dowód

$v(x+x_0)=a_0+a_1(x+x_0)+\dots +a_n(x+x_0{)}^n=a_0+a_1{x}_0+\dots +a_n{x}_0^n+x^{k}w(x)=v(x_0)+x^{k}w(x),$

przy czym $w(0)\ne 0.$ Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona $b,$ iż

$|v(x_0)+b^{k}w(b)|<|v(x_0)|,$

czyli

$|v(x_0+b)|<|v(x_0)|.$

Przyjmując $y_0=b+x_0$ otrzymuje się tezę.

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że $v\in ℂ[x]$ i nie istnieje takie $x\in ℂ,$ że $|v(x)|=0.$ Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień $r,$ że minimum globalne $|v(x)|$ jest przyjęte w kole $\{x:|x|⩽r\}$ dla pewnego $x_0.$ Założyliśmy jednak, że $|v(x)|$ jest zawsze większe od $0,$ a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje $y_0\in ℂ$ takie, że $|v(y_0)|<|v(x_0)|,$ co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie $x_0$ funkcja $|v(x)|$ przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być $|v(x_0)|=0.$

Zobacz też

• zasadnicze twierdzenie arytmetyki
• twierdzenie Abela-Ruffiniego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Źródła historyczne

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta – inny dowód twierdzenia.
• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Zasadnicze Twierdzenie Algebry, kanał „Khan Academy po polsku” na YouTube, 17 sierpnia 2017 [dostęp 2023-08-06].
• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. VIII. Zasadnicze twierdzenie algebry, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 lutego 2024 [dostęp 2024-09-07].