Brzeg (matematyka)

Zbiór (jasnoniebieski) wraz z jego brzegiem (ciemnoniebieski)

Brzeg – zbiór punktów „granicznych” danego zbioru.

Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie matematycznej pochodne funkcji rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczącym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire’a.

Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.

Definicja

Punkt B jest punktem brzegowym jasnozielonego zbioru, gdyż dowolne jego otoczenie (w szczególności błękitna kula o środku w tym punkcie) zawiera punkty należące do zbioru, jak i spoza niego

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna $X$ oraz zawarty w niej zbiór $A\subset X.$

Brzegiem $\mathrm{b}\mathrm{d}A$ zbioru $A$ nazywa się zbiór

$\mathrm{b}\mathrm{d}A=\mathrm{c}\mathrm{l}A\cap \mathrm{c}\mathrm{l}{A}^{\mathrm{c}},$

lub równoważnie

$\mathrm{b}\mathrm{d}A=\mathrm{c}\mathrm{l}A\setminus \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A.$

gdzie $\mathrm{c}\mathrm{l}A$ oraz $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A$ oznaczają odpowiednio domknięcie i wnętrze zbioru $A,$ zaś $A^{\mathrm{c}}$ jego dopełnienie.

Obok oznaczenia $\mathrm{b}\mathrm{d}A$ stosuje się też $\mathrm{f}\mathrm{r}A,\partial A$ (od ang. boundary, frontier).

Punkty brzegu nazywa się punktami brzegowymi i z definicji wynika, że punkty brzegowe są to te punkty, których dowolne otoczenie zawiera punkt należący do $A,$ jak i taki, który należy do jego dopełnienia $A^{\mathrm{c}}$.

Własności

Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:

• równy brzegowi jego dopełnienia,

  $\mathrm{b}\mathrm{d}A=\mathrm{b}\mathrm{d}{A}^{\mathrm{c}},$

• zawarty w domknięciu tego zbioru,

  $\mathrm{b}\mathrm{d}A\subseteq \mathrm{c}\mathrm{l}A,$

• zbiorem domkniętym,

  $\mathrm{b}\mathrm{d}A=\mathrm{c}\mathrm{l}(\mathrm{b}\mathrm{d}A).$

Domknięcie jest sumą zbioru i jego brzegu,

$\mathrm{c}\mathrm{l}A=A\cup \mathrm{b}\mathrm{d}A,$

więcej: zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty; mówi się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.

Dla dowolnego zbioru $A$ zachodzi

$\mathrm{b}\mathrm{d}A\supseteq \mathrm{b}\mathrm{d}(\mathrm{b}\mathrm{d}A),$

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, gdy $A$ jest otwarty lub domknięty). Ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, to

$\mathrm{b}\mathrm{d}(\mathrm{b}\mathrm{d}A)=\mathrm{b}\mathrm{d}(\mathrm{b}\mathrm{d}(\mathrm{b}\mathrm{d}A))$

dla dowolnego zbioru $A,$ czyli operator brzegu $\mathrm{b}\mathrm{d}$ spełnia pewną słabszą postać idempotentności.

Przykłady

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach od 1 do 6

Niech $ℝ$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jego naturalną topologią. Wówczas

• $\mathrm{b}\mathrm{d}ℝ=\mathrm{b}\mathrm{d}\varnothing =\varnothing ,$
• $\mathrm{b}\mathrm{d}(0,5)=\mathrm{b}\mathrm{d}[0,5)=\mathrm{b}\mathrm{d}(0,5]=\{0,5\},$
• $\mathrm{b}\mathrm{d}\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \}=\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \},$
• $\mathrm{b}\mathrm{d}\mathbb{Q}=\mathrm{b}\mathrm{d}{\mathbb{Q}}^{\mathrm{c}}=ℝ.$

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru.

Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^2$ brzegiem koła

$B_2=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2⩽1\}$

jest okrąg

$C_2=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2=1\},$

jednak zanurzenie koła $B_2$ w ${ℝ}^3$ jest zbiorem brzegowym, natomiast w topologii ${ℝ}^3$ zrelatywizowanej do $B^2$ zbiór ten nie ma brzegu.

W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Zobacz też

• pochodna zbioru
• wnętrze, zewnętrze

Linki zewnętrzne

• Szablon:SEP