Więzy układu mechanicznego

Więzy układu mechanicznego to warunki nakładające ograniczenia na położenia (więzy skończone, geometryczne) i prędkości (więzy różniczkowe, kinematyczne) punktów tego układu. Więzy mogą być dwu rodzajów: stacjonarne (skleronomiczne) i niestacjonarne (reonomiczne) w zależności od tego czy zależą one od czasu czy też nie.

Więzy geometryczne dwustronne

Punkt pojedynczy

Punkt materialny nazywamy swobodnym, jeżeli punkt ten może zajmować dowolne położenie w przestrzeni. Jeżeli jednak z góry dany jest obszar geometryczny, w granicach którego rozważany punkt może się poruszać, to sam punkt nazywamy nieswobodnym, a warunki ograniczające jego swobodę – więzami geometrycznymi. Ten obszar może być jedno-, dwu- lub trójwymiarowy. Powierzchnia ograniczająca obszar w ogólnym przypadku może być ruchoma i mieć zmienny kształt i dlatego opisana jest we współrzędnych kartezjańskich równaniem więzów dwustronnych o postaci Szablon:Wzór

Przy więzach tego typu poruszający się punkt musi zawsze dokładnie pozostawać na powierzchni określonej równaniem Szablon:LinkWzór.

W przypadku więzów jednostronnych punkt musi zawsze spełniać warunek Szablon:Wzór

czyli pozostawać po jednej stronie lub na brzegu powierzchni Szablon:LinkWzór. Więzy jednostronne mogą być czynne (gdy $f=0$) lub nieczynne (gdy $f>0$).

Więzy dwustronne nakładają ograniczenia Szablon:LinkWzór nie tylko na przemieszczenia punktu, ale również na jego prędkości. Mamy bowiem obliczając pochodną zupełną Szablon:LinkWzór Szablon:Wzór

To równanie ma rozwiązanie w postaciSzablon:R Szablon:Wzór

gdzie $𝐜$ – jest dowolnym wektorem prostopadłym do $𝐠𝐫𝐚𝐝f,$ czyli leżącym na płaszczyźnie stycznej do powierzchni określonej równaniem $f=0.$

Wynika stąd, że składowa prędkości w tej płaszczyźnie może być zupełnie dowolna. W przypadku więzów niestacjonarnych płaszczyzna ta porusza się i składowa prędkości punktu w kierunku gradientu nie jest zerowa. Ma ona wtedy wartość Szablon:Wzór

Więzy dwustronne nie nakładają żadnych ograniczeń także na przyspieszenia punktu w kierunku prostopadłym do wektora $𝐠𝐫𝐚𝐝f,$ mamy bowiem Szablon:Wzór

gdzie składnik Szablon:Wzór

nie zawiera żadnych przyspieszeń.

Zamiast Szablon:LinkWzór możemy napisać Szablon:Wzór

Po rozwiązaniu otrzymujemySzablon:R Szablon:Wzór

gdzie $𝐜$ jest dowolnym wektorem prostopadłym do gradientu. W przypadku więzów niestacjonarnych składowa przyspieszenia punktu o kierunku gradientu, wywołanego ruchem płaszczyzny Szablon:LinkWzór, ma wartość Szablon:Wzór

Układ punktów

Rozważmy układ składający się z $n$ punktów materialnych. Oznaczmy współrzędne dowolnego punktu $m_{\nu }$ przez $x_{\nu },y_{\nu },z_{\nu }.$ Na ten układ można nałożyć więzy geometryczne wyrażone wzorami Szablon:Wzór

Każde położenie układu, dla którego współrzędne punktów spełniają te równania, nazywamy możliwym w danej chwili czasu.

Wyobraźmy sobie, że punkty układu o współrzędnych $x_i,y_i,z_i,(i\ne \nu ;1,2,\dots ,n-1)$ zostały unieruchomione. Wówczas równanie Szablon:LinkWzór przedstawia powierzchnię w ${𝐑}^3,$ która z biegiem czasu zmienia swój kształt, na której musi pozostawiać punkt $m_{\nu }.$

Gradientem więzów $f_{\alpha }$ w punkcie $m_{\nu }$ jest Szablon:Wzór

gdzie ${𝐱}^o,{𝐲}^o,{𝐳}^o$ są wersorami osi globalnego układu współrzędnych.

Gradient ten ma kierunek normalnej do powierzchni Szablon:LinkWzór.

Więzy o postaci Szablon:LinkWzór nakładają ograniczenia nie tylko na położenie, ale również na prędkości punktów układu.

Równania Szablon:LinkWzór mają być spełnione w dowolnej chwili $t$ i stąd wynika, że pochodna zupełna dowolnego rzędu względem czasu, lewych stron równości Szablon:LinkWzór, jest równa zeru. Ograniczenia na prędkości punktów układu otrzymamy różniczkując Szablon:LinkWzór Szablon:Wzór

lub Szablon:Wzór

Obliczając pochodną funkcji Szablon:LinkWzór otrzymujemy warunki ograniczające przyspieszenia układu w postaci Szablon:Wzór

gdzie Szablon:Wzór

jest wyrażeniem nie zawierającym przyspieszeń. Dzięki temu zamiast Szablon:LinkWzór możemy napisać Szablon:Wzór

Więzy kinematyczne dwustronne

Kinematyczne więzy nie pozwalają na to, aby punkty układu w danej chwili i w danym położeniu miały dowolne prędkości. Więzy kinematyczne dwustronne można analitycznie zapisać równaniami o postaci Szablon:Wzór

W przypadku liniowych więzów kinematycznych wyrażenia analityczne zawierają prędkości tylko w sposób liniowy. Równania takich więzów mają postać Szablon:Wzór

gdzie $B_{\nu x}^{(\beta )},B_{\nu y}^{(\beta )},B_{\nu z}^{(\beta )},D_{\beta }$ oznaczają pewne funkcje współrzędnych i czasu.

Jeżeli wprowadzimy do rozważań wektory Szablon:Wzór

to równania Szablon:LinkWzór możemy zapisać w postaciSzablon:R Szablon:Wzór

Przyspieszenia $𝐰$ punktów układu poddanego więzom rozważanego typu muszą spełniać ograniczenia o postaci Szablon:Wzór

w której drugi i trzeci człon sumy nie zawiera przyśpieszeń.

Więzy jednostronne

Punkt pojedynczy

Analitycznym wyrażeniem geometrycznych więzów jednostronnych, nałożonych na punkt materialny, jest nierówność Szablon:Wzór

Więzy takie mogą być czynne, gdy $f=0$ lub nieczynne, gdy $f>0.$

Gdy więzy nie są czynne, wtedy punkt porusza się wewnątrz obszaru, w którym możliwy jest jego ruch. W tym przypadku może on mieć dowolną prędkość i dowolne przyspieszenie, bo na te wielkości wektorowe nie są nałożone żadne ograniczenia.

Rozważmy teraz przypadek, gdy w pewnej chwili $t$ więzy są jeszcze czynne, a za chwilę stają się nieczynne, tzn. Szablon:Wzór

gdzie $\mathrm{\Delta }t$ jest dowolnie małą wielkością dodatnią.

Funkcja $f(t)$ w sposób złożony zależy od czasu, tzn. w sposób jawny i za pośrednictwem zmiennych $x,y,z.$

Aby znaleźć ograniczenia nałożone na prędkości i przyspieszenia punktu posłużymy się rozwinięciem funkcji $f(t)$ w szereg Taylora w otoczeniu momentu $t.$

$f(t+\mathrm{\Delta }t)=f(t)+\frac{df}{dt}\frac{\mathrm{\Delta }t}{1!}+\frac{d^{2}f}{d{t}^2}\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2!}+ϵ,$

gdzie $ϵ$ oznacza zespół wyrazów rzędu co najmniej trzeciego rzędu względem $\mathrm{\Delta }t.$

Na podstawie warunków Szablon:LinkWzór otrzymujemy Szablon:Wzór

Dzieląc przez $\mathrm{\Delta }t$ i przechodząc do granicy $\mathrm{\Delta }t\to 0$ otrzymuje się zgodnie z notacją Szablon:LinkWzór Szablon:Wzór

Jeżeli więzy są stacjonarne, to $\partial f/\partial t=0$ i dzięki temu Szablon:Wzór

tzn. że rzut prędkości $𝐯$ punktu na kierunek gradientu nie może być ujemny, czyli niezgodny z więzami.

Jeżeli w chwili $t$ pochodna $df/dt>0,$ to z nierówności Szablon:LinkWzór nie można wyciągnąć żadnych wniosków dotyczących drugiej pochodnej $d^{2}f/d{t}^2,$ a zatem przyśpieszenie punktu pozostaje zupełnie dowolne. Jeżeli natomiast $df/dt=0,$ to dzieląc nierówność Szablon:LinkWzór przez $\mathrm{\Delta }{t}^2$ i przechodząc do granicy $\mathrm{\Delta }t\to 0$ otrzymujemy (dla drugiej pochodnej prawostronnej) warunek Szablon:Wzór

lub zgodnie ze wzorem Szablon:LinkWzór Szablon:Wzór

Układ punktów

Dla układu punktów więzy geometryczne i kinematyczne opisane są nierównościami typu Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Gdy lewe strony tych wzorów są dodatnie mówimy, że więzy nie działają. Gdy lewe strony są równe zeru mówimy, że więzy działają.

Lewe strony wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są złożonymi funkcjami czasu, tzn. zależą od czasu i jawnie i niejawnie, za pośrednictwem współrzędnych i ich pochodnych. Gdy czasowi $t$ nadamy pewien dodatni przyrost $\mathrm{\Delta }t$ możemy napisać Szablon:Wzór Szablon:Wzór

gdzie $ϵi\eta$ oznaczają składniki odpowiednio trzeciego i drugiego stopnia względem $\mathrm{\Delta }t.$

Ponieważ zawsze będziemy uważali wielkość $\mathrm{\Delta }t$ za dodatnią, dlatego pochodne funkcji $f_{\alpha },{\phi }_{\beta }$ występujące we wzorach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór należy rozumieć jako tzw. pochodne prawostronne, tzn. obliczone przy założeniu $\mathrm{\Delta }t\to 0,\mathrm{\Delta }t>0.$

Gdy układ porusza się zgodnie z więzami $f_{\alpha }=0,{\phi }_{\beta }=0,$ i chwila $t$ nie jest chwilą, w której układ opuszcza więzy, wówczas przy dowolnym $\mathrm{\Delta }t,$ nie przekraczającym pewnej wartości, lewe strony wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są równe zeru. Zatem w tym przypadku w chwili $t$ zachodzą równości Szablon:Wzór Szablon:Wzór

dla dowolnego $s.$ Są to warunki konieczne i dostateczne na to, aby więzy działały.

Niech teraz $t$ będzie chwilą, w której układ opuszcza więzy $f_{\alpha }$ lub ${\phi }_{\beta }.$

Znaczy to, że po pierwsze Szablon:Wzór

i po drugie, dla dowolnego dodatniego $\mathrm{\Delta }t$ nie przekraczającego pewnej wartości Szablon:Wzór

Uwzględniając te nierówności w rozwinięciach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór stwierdzamy, że w chwili $t$ zachodzą nierówności Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Nierówności te są prawdziwe przy dowolnie małym dodatnim $\mathrm{\Delta }t.$ Na skutek tego z pierwszej nierówności wynika, że Szablon:Wzór

Taki warunek więzy geometryczne nakładają na prędkości punktów w chwili, gdy przestają działać. Warunek, jaki nakładają w takiej chwili więzy kinematyczne na prędkości punktów, polega na tym, że Szablon:Wzór

Jeżeli w chwili, gdy więzy geometryczne $f_{\alpha }$ przestają działać, zachodzi nierówność $df\alpha /dt>0;$ i ze wzoru Szablon:LinkWzór wynika, że druga pochodna $d^2{f}_{\alpha }/d{t}^2$ może mieć dowolny znak, tzn. w tym przypadku więzy nie nakładają żadnych ograniczeń na przyśpieszenia punktów. Jeżeli $d{f}_{\alpha }/dt=0,$ to ponieważ nierówność Szablon:LinkWzór zachodzi przy dowolnie małym dodatnim $\mathrm{\Delta }t,$ więc wynika z niej warunek Szablon:Wzór

Podobnie z równości Szablon:LinkWzór można wywnioskować, że dla więzów kinematycznych ${\phi }_{\beta }$ w chwili, gdy przestają działać, zawsze ma miejsce nierówność Szablon:Wzór

Takie są warunki nakładane przez więzy na przyśpieszenia punktów w chwili, w której więzy przestają działać.